平方差

提示：此條目的主題不是差平方。

平方差公式是數學公式的一種，屬於乘法公式、因式分解及恆等式，被普遍使用。平方差指一個平方數減去另一個平方數得來的乘法公式：

$a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

$(a+b)$及$(a-b)$的排列不是非常的重要，可隨意排放。

驗證

主驗證

平方差可利用因式分解及分配律來驗證：

${\begin{aligned}a^{2}-b^{2}&=a^{2}-0-b^{2}\\&=a^{2}-(ab-ba)-b^{2}\\&=a^{2}-ab+ba-b^{2}\\&=(a^{2}-ab)+(ba-b^{2})\\&=a(a-b)+b(a-b)\\&=(a-b)(a+b)\\\end{aligned}}$

方格驗證

平方差能使用表格方式來驗證。

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

x)已知	$a$	$+b$
$a$	$a^{2}$	$+ab$
$-b$	$-ab$	$-b^{2}$

這樣可驗證出$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

幾何驗證

兩個正方形和兩個立方體之間差異的視覺證明

平方差可利用一個普通的平面圖表驗證出來。右圖中，是正方形$a^{2}$減去正方形$b^{2}$，那即是$a^{2}-b^{2}$。利用平方差，計算出陰影部分的面積就是$(a+b)(a-b)$。

方法一

根據右圖，可先將陰影部分分割成三部分，分別為：

• $b(a-b)\,\!$
• $(a-b)^{2}\,\!$是灰正方
• $b(a-b)\,\!$

然後，將三部分加起：

$b(a-b)+(a-b)^{2}+b(a-b)\,\!$

$=ab-b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+ab-b^{2}\,\!$

$=ab+ab-2ab-b^{2}+b^{2}+a^{2}-b^{2}\,\!$

$=a^{2}-b^{2}\,\!$

• 註：$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$運用了差平方。

方法二

與方法一差不多，先將陰影部分分割為兩部分，分別為：

• $a(a-b)\,\!$大長方
• $b(a-b)\,\!$小長方

然後，將兩部分加起：

$a(a-b)+b(a-b)\,\!$

$=a^{2}-ab+ab-b^{2}\,\!$

$=a^{2}-b^{2}\,\!$

例子

例子一

$x^{2}-16\,\!$

計算此公式，必須把兩個數項都轉為平方。並得：

$=x^{2}-4^{2}\,\!$

$=(x-4)(x+4)\,\!$

例子二

$16m^{2}-81n^{2}\,\!$

計算此公式，同樣地把兩個數項轉為平方。並得：

$=(4m)^{2}-(9n)^{2}\,\!$

$=(4m-9n)(4m+9n)\,\!$

例子三

$4y^{2}-36z^{2}\,\!$

計算此公式，雖$4y^{2}$及$36z^{2}$的開方分別是$2y$及$6z$，但最好的方法是先抽出公因子，並得：

$=4(y^{2}-9z^{2})\,\!$

同樣地把兩個數項轉為平方，並得：

$=4\left[y^{2}-(3z)^{2}\right]\,\!$

$=4(y-3z)(y+3z)\,\!$

例子四

${\frac {1}{x^{4}}}-{\frac {13}{x^{2}}}+36$

首先，可將該兩個分數轉成正數，並得：

$=x^{-4}-13x^{-2}+36\,\!$

$=(x^{-2})^{2}-13(x^{-2})+36\,\!$

運用因式分解的方法得出：

$=x^{-2}\times x^{-2}-9(x^{-2})-4(x^{-2})+9\times 4$

$=(x^{-2}-4)(x^{-2}-9)\,\!$

然後，把所有可被開方的數目轉為平方數，並得到：

$=\left[(x^{-1})^{2}-2^{2}\right]\left[(x^{-1})^{2}-3^{2}\right]$

運用平方差並得出：

$=(x^{-1}-2)(x^{-1}+2)(x^{-1}-3)(x^{-1}+3)\,\!$

或

$=\left({\frac {1}{x}}-2\right)\left({\frac {1}{x}}+2\right)\left({\frac {1}{x}}-3\right)\left({\frac {1}{x}}+3\right)\,\!$

運用

用平方差代替整數相乘

某些特別的整數相乘，能巧妙地使用平方差來計算，並可減省復雜的計算步驟。

例子一，兩個數項都分別是$10^{n}$的$+x$及$-x$：

• $10\times 10=(10-0)(10+0)=10^{2}-0^{2}=100-0=100$
• $7\times 13=(10-3)(10+3)=10^{2}-3^{2}=100-9=91$
• $95\times 105=(100-5)(100+5)=100^{2}-5^{2}=10,000-25=9,975$
• $99,994\times 100,006=(100,000-6)(100,000+6)=100,000^{2}-6^{2}=10,000,000,000-36=9,999,999,964$

例子二：第一個數項減去第2個數項，都是$10^{n}$：

• $14^{2}-4^{2}=(14+4)(14-4)=18\times 10=180\,\!$
• $125^{2}-25^{2}=(125+25)(125-25)=150\times 100=15,000\,\!$
• $1,750^{2}-750^{2}=(1,750+750)(1,750-750)=2,500\times 1,000=25,000,000\,\!$
• $14,205^{2}-4,205^{2}=(14,205+4,205)(14,205-4,205)=18,410\times 10,000=184,100,000\,\!$

例子三：運用分配律、平方差來計出以下很大而覆雜的數項：

• $3263\times 3264\times \left({\frac {3264}{3263}}-{\frac {3265}{3264}}\right)$

下一步先運用分配律：

$=3263\times 3264\times {\frac {3264}{3263}}-3263\times 3264\times {\frac {3265}{3264}}$

並把所有相同數項約簡，並得：

$=3264^{2}-3263\times 3265$

運用平方差，並得：

$=3264^{2}-(3264-1)(3264+1)\,\!$

$=3264^{2}-(3264^{2}-1^{2})\,\!$

$=3264^{2}-3264^{2}+1\,\!$

$=1\,\!$

錯誤運用

很多人混淆了平方差、差平方，除了文字上外，不少人都錯誤計算。

$a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$	Y
$a^{2}-b^{2}=(a-b)^{2}\,\!$	N

• 註：$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ ，詳見差平方

數論性質

因為平方數除以4的餘數衹能是0或1，所以兩個整數的平方差模4餘0、1或3。另一方面，

$(k+1)^{2}-(k-1)^{2}=4k$

說明模4餘0的數皆可寫成平方差，而

$(k+1)^{2}-k^{2}=2k+1$

說明模4餘1或3的數（奇數）可以寫成平方差。

內部連結

• 乘法公式
• 因式分解
• 恆等式
• 乘法
• 平方
• 平方數

外部連結

• Factoring the Difference of Two Squares
• Difference between 2 squares