超積

數學上，超積（英語：ultraproduct）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個結構之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的表徵。超冪（英語：ultrapower）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。

舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。

超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出緊緻性定理與完備性定理的優雅證明。開斯勒的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（Elias Zakon）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非標準分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。

定義

超積的一般定義中，先選定指標集$I$、對應每個下標$i\in I$的結構${\mathcal {M}}_{i}$（具相同的表徵），以及$I$上的超濾子${\mathcal {U}}$。通常僅考慮$I$為無窮集，且${\mathcal {U}}$不為主超濾子的情況，即${\mathcal {U}}$的元素有齊$I$的全部餘有限子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。

笛卡兒積

$\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}$

上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算$+$，$({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}})_{i}=a_{i}+b_{i}$。然後，在笛氏積上，定義等價關係$\sim$，使${\boldsymbol {a}}\sim {\boldsymbol {b}}$當且僅當

$\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}$

（應當理解為「${\boldsymbol {a}}$與${\boldsymbol {b}}$在大多數位置相等」）。

最後，所得的超積，是模$\sim$的商集。所以，該超積有時記為

$\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}.$

另一種看法是，在指標集$I$上，定義一個有限可加的測度$m$（弱於一般可數可加的條件），僅取$0,1$二值，若$A\in {\mathcal {U}}$則稱$m(A)=1$，否則稱$m(A)=0$。然後在笛氏積中，兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他關係同理可作引申：

$R([{\boldsymbol {a}}^{1}],\ldots ,[{\boldsymbol {a}}^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{{\mathcal {M}}_{i}}(a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}},$

其中$[{\boldsymbol {a}}]$表示${\boldsymbol {a}}$模$\sim$所屬的等價類。

特別地，若每個${\mathcal {M}}_{i}$皆為有序域，則所得的超積亦然。

所謂超冪，意思是所有因子${\mathcal {M}}_{i}$皆相等的超積：

${\mathcal {M}}^{I}/{\mathcal {U}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}/{\mathcal {U}}.\,$

也可以推廣到${\mathcal {U}}$不為超濾子，而僅為$I$上普通一個濾子的情況。此時所得的模型$\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}$稱為約化積（英語：reduced product）。

例子

超實數系是可數無窮多個（以自然數集編號）實數系的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如，$\omega _{n}=n$的序列$(\omega _{n})$所在的等價類，記為超實數$\omega$，比任意實數都要大，因為對於任意實數$r$，$(\omega _{n})$除有限項外皆比$r$大。於是，$\omega$可以理解成無窮大數。

類似地，可以定義非標準整數系、非標準複數系等，為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數$\psi$為序列$\psi _{n}=2n$所在的等價類。由於對每個$n$都有$\psi _{n}>n=\omega _{n}$，在超積中，有$\psi >\omega$，所以$\psi$是較原先構造出的$\omega$更大的無窮大數。又考慮與$\omega _{n}=n$類似的序列$(\chi _{n})$，令$n\neq 7$時，$\chi _{n}=n$，但$\chi _{7}=8$。則雖然兩個序列$(\chi _{n})\neq (\omega _{n})$，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有$\omega =\chi$。

大基數論中，有個標準構造是小心選取超濾子${\mathcal {U}}$，然後取整個集合論全類關於${\mathcal {U}}$的超積。此時，${\mathcal {U}}$的性質，對於所得超積的（高階）性質影響很大。例如，若${\mathcal {U}}$可數完備，則相應的超積仍是良基的。該範例在可測基數 § 定義有提及。

沃希定理

沃希定理（英語：Łoś's theorem），又稱超積基本定理，由耶日·沃希所證（波蘭語發音：[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ]）。定理斷言，任何一條一階邏輯式在超積$\prod {\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}$中為真，當且僅當使該公式在${\mathcal {M}}_{i}$中成立的指標$i$的集合，是${\mathcal {U}}$的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」${\mathcal {M}}_{i}$皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下：

設有表徵$\sigma$，指標集$I$，其上的超濾子${\mathcal {U}}$，且對每個$i\in I$，有$\sigma$結構${\mathcal {M}}_{i}$。又設${\mathcal {M}}$為${\mathcal {M}}_{i}$關於${\mathcal {U}}$之超積，即${\mathcal {M}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}$。則對任意$n$個多元組$a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod {\mathcal {M}}_{i}$，其中$a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}$，以及對任意$\sigma$公式$\varphi$，

${\mathcal {M}}\models \varphi (a^{1},\ldots ,a^{n})\iff \left\{i\in I:{\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}}.$

定理對公式$\varphi$的複雜度歸納得證。${\mathcal {U}}$為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步，要用到選擇公理。應用定理可得超實域的轉移原理。

實例

設$R$為結構${\mathcal {M}}$上的一元關係，並構造${\mathcal {M}}$的超冪。則集合$S=\{x\in {\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\models Rx\}$在超冪中有對應的子集${}^{*}S$，而在${\mathcal {M}}$中，對$S$量化且為真的一階公式，將$S$換成${}^{*}S$後，仍在超冪中成立。例如，設${\mathcal {M}}=\mathbb {R}$為實數集。設$Rx$表示「$x$為有理數」。則在${\mathcal {M}}$中，對每對有理數$x<y$，總有無理數$z$介於兩者之間。即：

${\mathcal {M}}\models (\forall x)(\forall y)(Rx\wedge Ry\wedge (x<y)\implies (\exists z)(\neg Rz\wedge x<z<y)).$

既然有理數集$S$此一性質可以寫成一階命題，沃希定理推出，超有理數集${}^{*}S$仍有同一性質，即任意兩個超有理數之間，有一個不為超有理數的超實數（「超無理數」）。更一般地，超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。

然而，考慮實數的阿基米德性質，即不存在實數$x$同時滿足$x>1,\ x>1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots$此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示，所以，沃希定理不適用於此性質，不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反，超實數不滿足阿基米德性質，例如前一節構造的超實數$\omega$，就比$1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots$都要大。

超冪的正極限（超極限）

  關於一列度量空間的超積，請見「超極限」。

模型論和集合論中，常考慮一列超冪的正極限（範疇論的餘極限）。模型論中，此構造稱為超極限（英語：ultralimit）或極限超冪（英語：limiting ultrapower）。

從某結構${\mathcal {A}}_{0}$和超濾子${\mathcal {U}}_{0}$開始，構造出超冪${\mathcal {A}}_{1}$，並重複，得到${\mathcal {A}}_{2}$等。對每個$n$，有典範對角嵌入${\mathcal {A}}_{n}\hookrightarrow {\mathcal {A}}_{n+1}$。在極限階段，如${\mathcal {A}}_{\omega }$，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。

參見

• 緊緻性定理——若可滿足一族一階句子的任意有限條，則可全部滿足
• 勒文海姆–斯科倫定理——一階理論無法控制無窮模型的大小
• 轉移原理

參考資料

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction [模型與超積：導論] reprint of 1974. Dover Publications. 2006 [1969]. ISBN 0-486-44979-3 （英語）. 
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. A Course in Universal Algebra [泛代數教程] Millennium. 2000 [1981] [2021-10-23]. （原始內容存檔於2005-01-23） （英語）.