倫伯傑（Luenberger）狀態觀測器 狀態觀測器 （英語：State observer ）是控制理論 中配合受控體的系統，在已知受控體架構的情形下，可以根據受控體的輸入及輸出而估測其內部的狀態 ，是許多實務應用的基礎。
許多的控制理論都會假設可以知道系統的狀態，例如利用全狀態回授 來穩定線性系統的例子。不過許多系統都無法直接量測到實際的狀態，只能用狀態對輸出的影響來間接估計狀態。像隧道中的車輛就是一個例子。車輛在隧道中的速度不易直接量測，只可以用隧道中的實際狀態來估計。假如系統可觀測 ，可以從輸出配合狀態觀測器來完全估測系統的狀態。
針對線性系統的狀態觀測器，最常用的是線性觀測器、滑動模式觀測器 ，也有在線性觀測器中加入立方項的觀測器。以下會說明線性觀測器的結構。
線性非時變離散系統的狀態方程式如下：
x
(
k
+
1
)
=
A
x
(
k
)
+
B
u
(
k
)
{\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}
y
(
k
)
=
C
x
(
k
)
+
D
u
(
k
)
{\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)}
在時間
k
{\displaystyle k}
x
(
k
)
{\displaystyle x(k)}
u
(
k
)
{\displaystyle u(k)}
y
(
k
)
{\displaystyle y(k)}
可觀測性 ，可以用系統輸出
y
(
k
)
{\displaystyle y(k)}
受控體的觀測器模型可以用上式來推導，也可以加入額外的項，確保觀測器在持續收到系統的輸入及輸出時，其狀態可以收斂到受控體的狀態。可以將系統的輸出減去觀測器的輸出，再乘以矩陣
L
{\displaystyle L}
x
^
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}(k)}
y
^
(
k
)
{\displaystyle {\hat {y}}(k)}
x
^
(
k
+
1
)
=
A
x
^
(
k
)
+
L
[
y
(
k
)
−
y
^
(
k
)
]
+
B
u
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)}
y
^
(
k
)
=
C
x
^
(
k
)
+
D
u
(
k
)
{\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)+Du(k)}
觀測器漸近收斂的條件是觀測器誤差
e
(
k
)
=
x
^
(
k
)
−
x
(
k
)
{\displaystyle e(k)={\hat {x}}(k)-x(k)}
k
→
∞
{\displaystyle k\rightarrow \infty }
A
−
L
C
{\displaystyle A-LC}
因為控制的需求，觀測器的輸出除了作為觀測器的輸入，也會透過增益矩陣
K
{\displaystyle K}
u
(
k
)
=
−
K
x
^
(
k
)
{\displaystyle u(k)=-K{\hat {x}}(k)}
觀測器的方程式會變成：
x
^
(
k
+
1
)
=
A
x
^
(
k
)
+
L
(
y
(
k
)
−
y
^
(
k
)
)
−
B
K
x
^
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left(y(k)-{\hat {y}}(k)\right)-BK{\hat {x}}(k)}
y
^
(
k
)
=
C
x
^
(
k
)
−
D
K
x
^
(
k
)
{\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)-DK{\hat {x}}(k)}
或是
x
^
(
k
+
1
)
=
(
A
−
B
K
)
x
^
(
k
)
+
L
(
y
(
k
)
−
y
^
(
k
)
)
{\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=\left(A-BK\right){\hat {x}}(k)+L\left(y(k)-{\hat {y}}(k)\right)}
y
^
(
k
)
=
(
C
−
D
K
)
x
^
(
k
)
{\displaystyle {\hat {y}}(k)=\left(C-DK\right){\hat {x}}(k)}
因為控制理論中的分離原理 ，可將估測器以及控制器分開設計, 因此可以選擇
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
A
−
L
C
{\displaystyle A-LC}
A
−
B
K
{\displaystyle A-BK}
連續系統中的觀測器和離散系統中的類似。會選擇觀測器增益
L
{\displaystyle L}
A
−
L
C
{\displaystyle A-LC}
赫維茲矩陣 時會成立）
針對連續時間線性系統
x
˙
=
A
x
+
B
u
,
{\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}
y
=
C
x
+
D
u
,
{\displaystyle y=Cx+Du,}
其中
x
∈
R
n
,
u
∈
R
m
,
y
∈
R
r
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},u\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{r}}
x
^
˙
=
A
x
^
+
B
u
+
L
(
y
−
y
^
)
{\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+Bu+L\left(y-{\hat {y}}\right)}
y
^
=
C
x
^
+
D
u
,
{\displaystyle {\hat {y}}=C{\hat {x}}+Du,}
觀測器誤差
e
=
x
−
x
^
{\displaystyle e=x-{\hat {x}}}
e
˙
=
(
A
−
L
C
)
e
{\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}
若
[
A
,
C
]
{\displaystyle [A,C]}
可觀測性 ，可以適當選擇觀測器增益
L
{\displaystyle L}
A
−
L
C
{\displaystyle A-LC}
A
−
L
C
{\displaystyle A-LC}
赫維茲矩陣 ，讓觀測器誤差
e
(
t
)
{\displaystyle e(t)}
若觀測器增益
L
{\displaystyle L}
[ 1] 滑動模式控制 技術（滑動模式觀測器 ），使觀測器在有量測誤差的情形下，在有限時間內使觀測器狀態誤差變成零，其他有誤差的狀態，其行為會類似峰值減弱後的倫伯傑觀測器。滑動模式觀測器類似卡爾曼濾波 ，有較理想的抗雜訊能力[ 2] [ 3]
另一種作法是用多觀測器（multi observer），可以顯著的改善暫態，抑制觀測器的過沖。多觀測器可以適用在所有適用高增益的系統[ 4]
針對非線性系統 ，最常用的是高增益狀態觀測器、滑動模式觀測器 以及擴展觀測器。
為了說明非線性系統中的狀態觀測器，先考慮以下的無輸入非線性系統：
x
˙
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}
其中
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
y
∈
R
{\displaystyle y\in \mathbb {R} }
y
=
h
(
x
)
.
{\displaystyle y=h(x).}
有許多設計觀測器的非近似式作法。以下提到的觀測器也可以適用於有輸入的系統
x
˙
=
f
(
x
)
+
B
(
x
)
u
,
{\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+B(x)u,}
y
=
h
(
x
)
,
{\displaystyle y=h(x),}
Krener和Isidori[ 5] [ 6] 微分同胚 ，類似回授線性化 ）
z
=
Φ
(
x
)
{\displaystyle z=\Phi (x)}
z
˙
=
A
z
+
ϕ
(
y
)
,
{\displaystyle {\dot {z}}=Az+\phi (y),}
y
=
C
z
.
{\displaystyle y=Cz.}
倫伯傑觀測器可以設計為
z
^
˙
=
A
z
^
+
ϕ
(
y
)
−
L
(
C
z
^
−
y
)
{\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A{\hat {z}}+\phi (y)-L\left(C{\hat {z}}-y\right)}
轉換後變數
e
=
z
^
−
z
{\displaystyle e={\hat {z}}-z}
e
˙
=
(
A
−
L
C
)
e
{\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}
Gauthier、Hammouri和Othman[ 7] [ 8]
z
=
Φ
(
x
)
{\displaystyle z=\Phi (x)}
z
˙
=
A
(
u
(
t
)
)
z
+
ϕ
(
y
,
u
(
t
)
)
,
{\displaystyle {\dot {z}}=A(u(t))z+\phi (y,u(t)),}
y
=
C
z
,
{\displaystyle y=Cz,}
則觀測器可以設計如下
z
^
˙
=
A
(
u
(
t
)
)
z
^
+
ϕ
(
y
,
u
(
t
)
)
−
L
(
t
)
(
C
z
^
−
y
)
{\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A(u(t)){\hat {z}}+\phi (y,u(t))-L(t)\left(C{\hat {z}}-y\right)}
其中
L
(
t
)
{\displaystyle L(t)}
Ciccarella、Dalla Mora和Germani[ 9]
多觀測器（Multi observer）是高增益觀測器的擴展，由一個觀測器到多個觀測器一起使用，可以讓多個模型同時作用。多觀測器會分為二層：一層包括了多個高增益觀測器，有相關同一組狀態旳不同的估測量，第二層決定第一層各估測量的權重。此演算法很容易實現，其中也沒有微分等有危險性的運算[ 4] [ 10]
假設高增益觀測器有n+1個
x
k
^
˙
(
t
)
=
A
x
k
^
(
t
)
+
B
ϕ
0
(
x
^
(
t
)
,
u
(
t
)
)
−
L
(
y
k
^
(
t
)
−
y
(
t
)
)
{\displaystyle {\dot {\hat {x_{k}}}}(t)=A{\hat {x_{k}}}(t)+B\phi _{0}({\hat {x}}(t),u(t))-L({\hat {y_{k}}}(t)-y(t))}
y
k
^
(
t
)
=
C
x
k
^
(
t
)
{\displaystyle {\hat {y_{k}}}(t)=C{\hat {x_{k}}}(t)}
其中
k
=
1...
n
+
1
{\displaystyle k=1...n+1}
L
{\displaystyle L}
x
k
(
0
)
{\displaystyle x_{k}(0)}
x
k
(
t
)
{\displaystyle x_{k}(t)}
k
=
1...
n
+
1
{\displaystyle k=1...n+1}
y
k
^
(
t
)
=
∑
k
=
1
n
+
1
α
k
(
t
)
x
k
^
(
t
)
{\displaystyle {\hat {y_{k}}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t){\hat {x_{k}}}(t)}
其中
α
k
∈
R
{\displaystyle \alpha _{k}\in \mathbb {R} }
假設
∑
k
=
1
n
+
1
α
k
(
t
)
ξ
k
(
t
)
=
0
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)\xi _{k}(t)=0}
且
∑
k
=
1
n
+
1
α
k
(
t
)
=
1
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)=1}
其中
ξ
k
∈
R
n
×
1
{\displaystyle \xi _{k}\in \mathbb {R} ^{n\times 1}}
k
{\displaystyle k}
e
k
(
t
)
{\displaystyle e_{k}(t)}
經過轉換，可以得到以下的線性回歸問題
[
−
ξ
n
+
1
(
t
)
]
=
[
ξ
1
(
t
)
−
ξ
n
+
1
(
t
)
…
ξ
k
(
t
)
−
ξ
n
+
1
(
t
)
…
ξ
n
(
t
)
−
ξ
n
+
1
(
t
)
]
T
[
α
1
(
t
)
⋮
α
k
(
t
)
⋮
α
n
(
t
)
]
{\displaystyle [-\xi _{n+1}(t)]=[\xi _{1}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{k}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{n}(t)-\xi _{n+1}(t)]^{T}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}(t)\\\vdots \\\alpha _{k}(t)\\\vdots \\\alpha _{n}(t)\end{bmatrix}}}
根據上式，有可能估算
α
k
(
t
)
{\displaystyle \alpha _{k}(t)}
m
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
ξ
k
(
t
)
=
m
(
e
k
(
t
)
)
{\displaystyle \xi _{k}(t)=m(e_{k}(t))}
ξ
k
(
t
)
{\displaystyle \xi _{k}(t)}
α
k
(
t
)
{\displaystyle \alpha _{k}(t)}
e
σ
(
t
)
=
∑
k
=
1
n
+
1
α
k
(
t
)
e
k
(
t
)
{\displaystyle e_{\sigma }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)e_{k}(t)}
將
η
k
(
t
)
=
y
^
k
(
t
)
−
y
(
t
)
{\displaystyle \eta _{k}(t)={\hat {y}}_{k}(t)-y(t)}
n
{\displaystyle n}
ξ
k
(
t
)
{\displaystyle \xi _{k}(t)}
ξ
k
(
t
)
=
[
1
0
0
⋯
0
C
L
1
0
⋯
0
C
A
L
C
L
1
⋯
0
C
A
2
L
C
A
L
C
L
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
C
A
n
−
2
L
C
A
n
−
3
L
C
A
n
−
4
L
⋯
1
]
[
∫
t
−
t
d
t
n
−
1
⋯
∫
t
−
t
d
t
η
k
(
τ
)
d
τ
⋮
η
(
t
)
−
η
(
t
−
(
n
−
1
)
t
d
)
]
{\displaystyle \xi _{k}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\CL&1&0&\cdots &0\\CAL&CL&1&\cdots &0\\CA^{2}L&CAL&CL&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\CA^{n-2}L&CA^{n-3}L&CA^{n-4}L&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\int \limits _{t-t_{d}}^{t}{{n-1} \atop \cdots }\int \limits _{t-t_{d}}^{t}\eta _{k}(\tau )d\tau \\\vdots \\\eta (t)-\eta (t-(n-1)t_{d})\end{bmatrix}}}
其中
t
d
>
0
{\displaystyle t_{d}>0}
ξ
k
(
t
)
{\displaystyle \xi _{k}(t)}
η
k
(
t
)
{\displaystyle \eta _{k}(t)}
α
k
(
t
)
{\displaystyle \alpha _{k}(t)}
α
^
k
(
t
)
{\displaystyle {\hat {\alpha }}_{k}(t)}
k
=
1
…
n
+
1
{\displaystyle k=1\dots n+1}
α
k
(
t
)
{\displaystyle \alpha _{k}(t)}
e
ξ
(
t
)
=
∑
k
=
1
n
+
1
α
^
k
(
t
)
ξ
k
(
t
)
{\displaystyle e_{\xi }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}{\hat {\alpha }}_{k}(t)\xi _{k}(t)}
其中
e
ξ
(
t
)
∈
R
n
×
1
,
α
^
k
(
t
)
∈
R
{\displaystyle e_{\xi }(t)\in \mathbb {R} ^{n\times 1},{\hat {\alpha }}_{k}(t)\in \mathbb {R} }
α
^
(
t
)
{\displaystyle {\hat {\alpha }}(t)}
α
k
(
t
)
{\displaystyle \alpha _{k}(t)}
e
ξ
(
t
)
=
0
{\displaystyle e_{\xi }(t)=0}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
{\displaystyle x}
[ 4]
邊界觀測器（Bounding observers）[ 11] [ 12] [ 13]
邊界範圍在實際應用上非常重要[ 14] [ 15]
在數學上，若適當的選擇
L
{\displaystyle L}
正向系統 特性[ 16]
x
^
U
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}_{U}(k)}
不確定性 的情形下，確保在
k
→
∞
{\displaystyle k\rightarrow \infty }
e
(
k
)
=
x
^
U
(
k
)
−
x
(
k
)
{\displaystyle e(k)={\hat {x}}_{U}(k)-x(k)}
x
^
L
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}_{L}(k)}
k
→
∞
{\displaystyle k\rightarrow \infty }
e
(
k
)
=
x
^
L
(
k
)
−
x
(
k
)
{\displaystyle e(k)={\hat {x}}_{L}(k)-x(k)}
x
^
U
(
k
)
≥
x
(
k
)
≥
x
^
L
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}_{U}(k)\geq x(k)\geq {\hat {x}}_{L}(k)}
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![{\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922733eafc60e3a2259b8262ff53663ad98f6ac9)
![{\displaystyle [A,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077be06e7e743c6266cd0e96d203e6666fd48661)
Multi Observer Schema
![{\displaystyle [-\xi _{n+1}(t)]=[\xi _{1}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{k}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{n}(t)-\xi _{n+1}(t)]^{T}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}(t)\\\vdots \\\alpha _{k}(t)\\\vdots \\\alpha _{n}(t)\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14061e852da1a07905f0135efdc64ef7c62911f9)
