貝特朗判別法

貝特朗判別法（英語：Bertrand's test）是正項級數斂散性的一種判別方法，分析通過級數項作成的形如$\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln {n}$序列的極限，可以更為精細地討論級數的收斂性，可以看作達朗貝爾判別法、拉阿伯判別法或庫默爾判別法的推論。

定理

設$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是欲判斷斂散性的級數，定義序列

${\mathcal {B}}_{n}=\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln n.$

設它具有極限 $\lim _{n\to \infty }{{\mathcal {B}}_{n}}={\mathcal {B}}$

那麼：

• 倘若${\mathcal {B}}>1$，級數收斂；
• 倘若${\mathcal {B}}<1$，級數發散；
• 倘若${\mathcal {B}}=1$，則級數的斂散性暫時不能確定。

證明

在庫默爾判別法中取$c_{n}=n\ln n(n\geq 2)$，這樣的選取是可以允許的，因為級數$\sum {\frac {1}{n\ln n}}$發散。

在這情形下有${\mathcal {K}}_{n}=n\ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)$。

也可以表示成${\mathcal {K}}_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right]-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}={\mathcal {B}}_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$。

其中${\mathcal {B}}_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right]=\ln n\cdot \left({\mathcal {R}}_{n}-1\right)$，這就得到了貝特朗判別法。