N體問題

N體問題是指找出已知初始位置、速度和質量的多個物體在經典力學情況下的後續運動。

N體問題的數學公式

天體力學中的普遍情況下的N體問題是一組已知初始值的常微分方程組：即已知初始值 $q_{j}(0),\quad {\dot {q}}_{j}(0),j=1,\ldots ,n$ （當j 不等於k 時， $q_{j}(0)\neq q_{k}(0)$ ），解出這個二階常微分方程組

m_{j}{\ddot {q}}_{j}=\gamma \sum \limits _{k\neq j}^{n}{\frac {m_{j}m_{k}(q_{j}-q_{k})}{|q_{j}-q_{k}|^{3}}},j=1,\ldots ,n\qquad \qquad \qquad (1)

其中 $m_{1},m_{2},\ldots m_{n}$ 是代表n個質點質量的常量。 $q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$ 是以時間t為變量描述質點位置的三維向量函數。

約翰·伯努利已經完全解決了 $n=2$ 的情況。（參見#二體問題）

在有關N體問題（ $n\geq 3$ ）的物理文學作品裏有時會發現像「解決N體問題是不可能的」這樣的描述。

n 體問題包含6n 個變量，因為每個質點需要3個空間坐標和3個分速度表示。

假如兩個物體的共同質心是靜止的，每一個物體沿着一條圓錐曲線運行,而這條圓錐曲線的焦點與這個系統的質心重合（對於雙曲線，是與焦點同側的那一支）。

假如這兩個物體被限制在一起，它們的運動軌跡都為橢圓；這時的勢能（經常為一負值）相對於它們離得很遠情況在絕對值上大於這個系統總動能（這些物體在它們坐標軸的旋轉能這裏未計算在內）。

假如它們正在遠離，它們將一同沿着拋物線或雙曲線運動。

對於雙曲線的情況，勢能的絕對值小於這個系統的總動能；即兩種能量的和為正值。

對於拋物線的情況，兩種能量的和為0。當兩物體相距很遠時，它們的相對速度趨於0。

註釋：拋物線軌道的能量為0的事實由當物體相距無限遠時，重力勢能為0這一假定產生的。系統在無限分離的狀態下可以被認為具有任意值（例如42焦）的勢能。那一種狀態被假定具有0勢能（即0焦）。

當 $n\geq 3$ 時的N體問題現在知道得很少。n=3的情況研究得最多，且很多結論可以推廣到更大的n。最先嘗試解決三體問題是從量化的、尋找顯式解的角度。

1767年歐拉找到了共線周期軌道,其中任意質量的三個物體振盪在旋轉線上。
1772年拉格朗日發現了一些周期解，存在周期性的擴張和收縮的旋轉等邊三角形的頂點上。這些解引領了關於中心結構的研究，其中 ${\ddot {q}}=kq$ （k為大於零的常數）。

三體問題是很令人費解的。它的解可能是混沌的。Charles Delaunay曾經在地-月-日系統做出了主要研究。他曾於1860年和1867年分別出版了長達900頁的關於這個問題的著作。