N體問題

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N體問題是指找出已知初始位置、速度和質量的多個物體在經典力學情況下的後續運動。

N體問題的數學公式[編輯]

天體力學中的普遍情況下的N體問題是一組已知初始值的常微分方程組:即已知初始值(當j 不等於k 時,),解出這個二階常微分方程組

其中 是代表n質點質量的常量。是以時間t為變量描述質點位置的三維向量函數。

約翰·伯努利已經完全解決了的情況。(參見#二體問題

一般考慮:解決N體問題[編輯]

在有關N體問題()的物理文學作品裏有時會發現像「解決N體問題是不可能的」這樣的描述。

n 體問題包含6n 個變量,因為每個質點需要3個空間坐標和3個分速度表示。

二體問題[編輯]

假如兩個物體的共同質心是靜止的,每一個物體沿着一條圓錐曲線運行,而這條圓錐曲線的焦點與這個系統的質心重合(對於雙曲線,是與焦點同側的那一支)。

假如這兩個物體被限制在一起,它們的運動軌跡都為橢圓;這時的勢能(經常為一負值)相對於它們離得很遠情況在絕對值上大於這個系統總動能(這些物體在它們坐標軸的旋轉能這裏未計算在內)。

假如它們正在遠離,它們將一同沿着拋物線或雙曲線運動。

對於雙曲線的情況,勢能的絕對值小於這個系統的總動能;即兩種能量的和為正值。

對於拋物線的情況,兩種能量的和為0。當兩物體相距很遠時,它們的相對速度趨於0。

注釋:拋物線軌道的能量為0的事實由當物體相距無限遠時,重力勢能為0這一假定產生的。系統在無限分離的狀態下可以被認為具有任意值(例如42焦)的勢能。那一種狀態被假定具有0勢能(即0焦)。

三體問題[編輯]

時的N體問題現在知道得很少。n=3的情況研究得最多,且很多結論可以推廣到更大的n。最先嘗試解決三體問題是從量化的、尋找顯式解的角度。

  • 1767年歐拉找到了共線周期軌道,其中任意質量的三個物體振盪在旋轉線上。
  • 1772年拉格朗日發現了一些周期解,存在周期性的擴張和收縮的旋轉等邊三角形的頂點上。這些解引領了關於中心結構的研究,其中k為大於零的常數)。

三體問題是很令人費解的。它的解可能是混沌的。Charles Delaunay曾經在地-月-日系統做出了主要研究。他曾於1860年和1867年分別出版了長達900頁的關於這個問題的著作。

為解決N體問題設立的奧斯卡二世獎[編輯]

Sundman的三體問題理論[編輯]

N體問題的通用解[編輯]

N體問題的奇妙[編輯]

其它[編輯]