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超立方体堆砌

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超立方体堆砌
一个3x3x3x3棋盘超立方体堆砌的透视投影|220px]]
类型正四维堆砌
家族立方形堆砌
维度4
对偶多胞形自身对偶
类比立方体堆砌
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_1 4 node 3 node 3 node 4 node 
node_1 4 node 3 node 3 node 4 node_1 
nodes split2 node 3 node 4 node_1 
node_1 4 node 4 node 2 node_1 4 node 4 node 
node_1 4 node 4 node 2 node_1 infin node 2 node_1 infin node 
node_1 infin node 2 node_1 infin node 2 node_1 infin node 2 node_1 infin node 
施莱夫利符号{4,3,3,4}
t0,4{4,3,3,4}
{4,3,31,1}
{4,4}2
{4,3,4}x{∞}
{4,4}x{∞}2
{∞}4
性质
四维{4,3,3}
{4,3}
{4}
欧拉示性数0
组成与布局
棱图
8 {4,3}
顶点图
16 {4,3,3}
对称性
考克斯特群, [4,3,3,4]
, [4,3,31,1]
特性
点可递边可递面可递胞可递

四维欧几里得几何空间中,超立方体堆砌Tesseractic Honeycomb[1]是三种四维空间堆砌(亦称为填充镶嵌蜂巢体)之一,由超立方体堆砌而成。它亦可被看作是五维空间中由无穷多个超立方体胞组成的二胞角为180°的五维正无穷胞体,因此在许多情况下它被算作是五维的多胞体。

超立方体堆砌在施莱夫利符号中,以{4,3,3,4}表示,透过超立方体胞填密4维空间构成[2]。其顶点图是一个正十六胞体,在每单位立方中,每相邻的两个超立方体胞有四个正方形相遇、八个边相遇、顶点则有16个相遇。超立方体堆砌是平面正方形镶嵌的类比、也是三维空间立方体堆砌在四维空间的类比[3],他们的形式皆为{4,3,...,3,4}[4],为立方形堆砌家族的一部分,在这个家庭的镶嵌都是自身对偶

坐标

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此蜂巢体(即该堆砌的整体)的顶点皆位于四维空间中的整数点(i,j,k,l)上,对所有的i,j,k,l皆为超立方体边长的整数倍[5],因此边长为1超立方体堆砌也可以视为四维空间中的座标网格。

结构

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超立方体堆砌有许多不同的Wythoff结构。最对称的形式是施莱夫利符号{4,3,3,4}表示正图形,另一种形式是有两种超立方体交替,有如棋盘一般,在施莱夫利符号中用{4,3,31,1}表示。最低的对称性Wythoff结构是在每个顶点附近有16个棱柱形,其施莱夫利符号表示为{∞}4。其可利用截胞(Sterication)来构造。

相关多面体和镶嵌

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考克斯特群[4,3,3,4]、node 4 node 3 node 3 node 4 node 产生了31个排列均匀的镶嵌,21具有独特的对称性和20具有独特的几何形状。扩展超立方体堆砌(也被称为截胞超立方体堆砌)其形状在几何上与超立方体堆砌相同。

扩展
对称群
扩展
标记
蜂巢体
(堆砌)
[4,3,3,4]: node_1 4 node 3 node 3 node 4 node  ×1

node_1 4 node 3 node 3 node 4 node  1, node 4 node_1 3 node 3 node 4 node  2, node_1 4 node_1 3 node 3 node 4 node  3, node_1 4 node 3 node_1 3 node 4 node  4,
node_1 4 node 3 node 3 node_1 4 node  5, node 4 node_1 3 node_1 3 node 4 node  6, node_1 4 node_1 3 node_1 3 node 4 node  7, node_1 4 node_1 3 node 3 node_1 4 node  8,
node_1 4 node_1 3 node 3 node 4 node_1  9, node_1 4 node 3 node_1 3 node_1 4 node  10, node_1 4 node_1 3 node_1 3 node_1 4 node  11, node_1 4 node_1 3 node_1 3 node 4 node_1  12,
node_h1 4 node 3 node 3 node 4 node  13

[[4,3,3,4]] node_c3 split1 nodeab_c2 4a4b nodeab_c1  ×2 node_1 4 node 3 node 3 node 4 node_1  (1), node_h1 4 node 3 node 3 node 4 node_h1  (2), node_h 4 node 3 node 3 node 4 node_h  (13), node_1 4 node 3 node_1 3 node 4 node_1  18
node_h1 4 node 3 node_1 3 node 4 node_h1  (6), node_1 4 node_1 3 node 3 node_1 4 node_1  19, node_1 4 node_1 3 node_1 3 node_1 4 node_1  20
[(3,3)[1+,4,3,3,4,1+]]
= [(3,3)[31,1,1,1]]
= [3,4,3,3]
node_c2 split1 nodeab_c1 4a4b nodes 
= nodeab_c1 split2 node_c2 split1 nodeab_c1 
= node_c2 3 node_c1 4 node 3 node 3 node 
×6

node 4 node 3 node_1 3 node 4 node  14, node 4 node_1 3 node 3 node_1 4 node  15, node 4 node_1 3 node_1 3 node_1 4 node  16, node 4 node_h 3 node_h 3 node_h 4 node  17

参考文献

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  1. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  2. ^ Quaternionic modular groups页面存档备份,存于互联网档案馆) Submitted by C. DavisDedicated to the memory of John B. Wilker [2014-4-27]
  3. ^ Barnes, John. "The Fourth Dimension." Gems of Geometry. Springer Berlin Heidelberg, 2009. 57-81.
  4. ^ Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
  5. ^ Klitzing, Richard. test(tesseractic tetracomb). bendwavy.org. [2014-04-27]. 
  • Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]页面存档备份,存于互联网档案馆
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs) - Model 1
  • Klitzing, Richard. 4D Euclidean tesselations. bendwavy.org.  x∞o x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞x x∞o,x∞x x∞x x∞x x∞x, x∞o x∞o x4o4o, x∞o x∞o o4x4o, x∞x x∞o x4o4o, x∞x x∞o o4x4o, x∞o x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4o, x∞x x∞x o4x4o, x∞x x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3o *d4x, x∞o o3o3o *d4x, x∞x x4o3o4x, x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o *b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - test - O1