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拉格朗日恆等式

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在代數中,以約瑟夫·拉格朗日命名的拉格朗日恆等式是:[1][2]

應用於任意兩個實數複數集合(或者更一般地,一個交換環的元素){a1, a2, . . ., an} and {b1, b2, . . ., bn}。這個恆等式是婆羅摩笈多-斐波那契恆等式的推廣,同時也是Binet–Cauchy恆等式的特殊形式。

用一個更為簡潔的向量形式表示,Lagrange恆等式就是:[3]

其中ab是由實數構成的n維向量。向複數的引申需要將點積理解為內積或者Hermitian點積。準確的說,對於複數,Lagrange恆等式可以寫成以下形式:[4]

用到複數的[5]

拉格朗日恆等式和外代數

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拉格朗日恆等式用楔積可以寫成

因此,它可以看作是一個以點積形式給出兩個向量楔積的公式,也就是由它們定義的平行四邊形,即

參考資料

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  1. ^ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics 2nd. CRC Press. 2003. ISBN 1-58488-347-2. 
  2. ^ Robert E Greene and Steven G Krantz. Exercise 16. Function theory of one complex variable 3rd. American Mathematical Society. 2006: 22. ISBN 0-8218-3962-4. 
  3. ^ Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov, Volker Reitmann. Dimension theory for ordinary differential equations. Vieweg+Teubner Verlag. 2005: 26. ISBN 3-519-00437-2. 
  4. ^ J. Michael Steele. Exercise 4.4: Lagrange's identity for complex numbers. The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge University Press. 2004: 68–69. ISBN 0-521-54677-X. 
  5. ^ Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2002: 22, Exercise 16. ISBN 978-0-8218-2905-9. ;
    Palka, Bruce P. An Introduction to Complex Function Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1991: 27, Exercise 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9.