正交函數

在數學中，正交函數（orthogonal functions）所屬的函數空間是有雙線性形式的向量空間。當函數空間的定義域是一個區間，雙線性形式可能是積分式：

$\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx$

函數$f$與$g$在這個積分值是0時正交，即$\langle f,\ g\rangle =0$ 只要 $f\neq g$。 如有限維空間中的向量基一樣，正交函數可以形成函數空間的無限基。從概念上講，上述積分等效於矢量點積； 如果兩個向量的點積為零，則它們是相互獨立的（正交的）。

設$\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ 是非零L²-範數$\Vert f_{n}\Vert _{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}$正交函數列。則數列$\left\{f_{n}/\Vert f_{n}\Vert _{2}\right\}$是L²-範數的函數，形成了一個正交數列。一個有定義的L²-範數，積分必須有界，這限制了函數需要是平方可積函數。

三角函數

主條目：傅立葉級數和調和分析

幾組正交函數在逼近函數時被用作標準基。例如，正弦函數sin nx和sin mx在積分區間$x\in (-\pi ,\pi )$上是正交的，這裡$m\neq n$且n和m是正整數。而

$2\sin(mx)\sin(nx)=\cos \left((m-n)x\right)-\cos \left((m+n)x\right)$，

兩個正弦函數的乘積的積分值就抵消了。 加上餘弦函數，這些正交函數可以用於組成一個三角多項式，通過傅立葉級數在一個區間上逼近給定的函數。

多項式

主條目：正交多項式

對於單項式序列$\{1,x,x^{2},\dots \}$（區間$[-1,1]$）進行格拉姆-施密特正交化可以得到勒讓德多項式。另一類正交多項式是伴隨勒讓德多項式。

正交多項式的研究與權重$w(x)$有關：

$\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx$。

對於$(0,\infty )$區間上的拉蓋爾多項式，權重函數是$w(x)=e^{-x}$。

物理學家或概率論研究者在$(-\infty ,\infty )$區間上使用埃爾米特多項式，權重是$w(x)=e^{-x^{2}}$或 $w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$。

切比雪夫多項式定義在$[-1,1]$上，使用權重$w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$或$w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$。

澤爾尼克多項式定義在單位圓上，有徑向正交性和角度正交性。

二值函數

沃爾什函數和哈爾小波變換是在離散區間上的正交函數的例子。

有理函數

切比雪夫有理函數圖像，n=0,1,2,3和4，x在0.01和100之間。

勒讓德多項式和切比雪夫多項式在[−1, 1]上提供正交函數族，但偶爾需要[0, ∞)上的正交函數族。這種情況下可以先使用Cayley變換，讓參數在[−1, 1]內。這個過程可以得到 有理正交函數族，稱為勒讓德有理函數和切比雪夫有理函數。

在微分方程中

有邊界條件的線性微分方程的解常常可以寫成帶權重的正交函數的和，（即本徵函數），進而有廣義傅立葉級數。

參見

• 希爾伯特空間
• 特徵值和特徵向量
• 瓦尼爾函數
• Lauricella定理
• K-L_轉換

參考資料

• George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press.
• Price, Justin J. Topics in orthogonal functions. American Mathematical Monthly. 1975, 82: 594–609 [2020-08-17]. doi:10.2307/2319690. （原始內容存檔於2021-01-15）. 
• Giovanni Sansone (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers.

外部連結

• 正交函數 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的MathWorld連結