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比较审敛法

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无穷级数
无穷级数

比较审敛法(Direct comparison test)是一种判定级数是否收敛的方法。

定理

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设两个级数,且

如果级数收敛,则级数收敛;


设两个级数,且

如果级数发散,则级数发散。

证明

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证明1

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时,则有

当级数收敛时,数列有界,从而数列有界,所以级数收敛;

当级数发散时,数列无界,从而数列无界,所以级数发散。

证明2

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设有级数,其中绝对收敛(收敛)。不失一般性地假设对于任何正整数n,都满足。考虑它们的部分和由于绝对收敛,存在实数T,使得成立。

对于任意n,都有 (因满足)

由于为单调不下降序列,为单调不上升序列(隨著n上升,屬於的便多過屬於),给定都属于闭区间,当N趋向无穷大时,这个区间的长度趋向于0。这表明是一个柯西序列,因此收敛于一个极限值。因此绝对收敛。

参见

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