廣義相對論的替代理論

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廣義相對論的替代理論是與愛因斯坦廣義相對論(general relativity, GR)競爭,嘗試要描述重力現象的物理理論

對於建構一個理想重力理論,至今已有許多不同的嘗試。這些嘗試可以分為下面四個大類:

本文談論對象僅包括與GR的直接競爭理論。量子化的重力理論課題,請見量子重力條目。重力與其他基本力的統一理論課題,請見古典統一場論條目。試圖將所有目標畢其功於一役的理論,請見萬有理論條目。

動機[编辑]

建立新的重力理論的動機隨著年代不同,最早先的動機是要解釋行星軌道(牛頓重力)以及更複雜的軌道(例如:拉格朗日)。再來登場的是不成功的嘗試——要合併重力與波理論或微粒(corpuscular)理論的新重力理論。隨著勞侖茲變換的發現,物理學的樣貌徹底改變,而導致了將其與重力調和的嘗試。在此同時,實驗物理學家開始測試重力與相對論的基礎——勞侖茲不變性重力造成的光線偏折、Eötvös實驗。這些考量導致與考驗了廣義相對論的發展。

本文中的符號標記[编辑]

c\;光速G\;重力常數。幾何變數(Geometric variables)在此不使用。

拉丁字母指標取值從1到3,希臘字母指標取值從0到3。採用愛因斯坦取和原則

\eta_{\mu\nu}\;閔可夫斯基度規g_{\mu\nu}\;為一張量,通常是度規張量。其有標記(signature)(-,+,+,+)

協變微分(Covariant differentiation)寫為\nabla_\mu\phi\;\phi_{;\mu}\;

也可考慮閱讀廣義相對論的數學條目。

理論分類[编辑]

重力理論可以粗略分為數個大類。此處描述的多數理論具有:

若一理論具有一拉格朗日密度,寫作L\,,則作用量S\,則是此項的積分,例如: S\,\propto\,\int d^4 x R \sqrt{-g}L\,

其中R\,是空間的曲率。在此方程式中,通常會有g=-1\,的情形,但並非必要條件。

本文中所描述的理論幾乎每個都有一作用量。這是目前已知的方法來保證能量、動量與角動量守恆能自動成立;儘管如此,要建構使守恆律被違背的作用量仍相當容易。1983年原始版本的MOND並沒有作用量。

一些理論有作用量但沒有拉格朗日密度。一個好的例子是懷海德(1922年)的理論,此中的作用量是非局域的。

一個重力理論是一度規理論(metric theory)僅當其可以給出遵守如下兩個條件的數學表述:

條件1. 存在一度規張量g_{\mu\nu}\,標記為1,而此度規掌控了原長(proper-length)與原時(proper-time)測量,一如在狹義與廣義相對論:

ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\,

此式中對指標\mu\nu進行取和。

條件2. 受到重力作用的具應力物質與場按照下列方程式反應:

\nabla\cdot T=0\,

其中T\,應力-能量張量,針對所有物質以及非重力的場,而\nabla為隨度規所做的協變導數(covariant derivative)]。

任何重力理論若g_{\mu\nu}\ne g_{\nu\mu}永遠成立,則其非度規理論,但任何度規理論可以給予違背條件1與2的數學描述。

度規理論包括(從簡單至複雜):

  • 純量場理論(包括共形平直理論(Conformally flat theories),以及具有共形平直空間切面(Conformally flat space slices)的層狀理論(Stratified theories))

諾德斯特洛姆(Nordström)、Einstein-Fokker、Whitrow-Morduch、Littlewood、Bergman、Page-Tupper, 愛因斯坦(1912年)、Whitrow-Morduch、羅森(Rosen)(1971年)、Papapetrou、倪維斗(Ni)、Yilmaz、[Coleman]、李-萊特曼-倪(Lee-Lightman-Ni)

羅森(1975年)、Rastall、萊特曼-李(Lightman-Lee)

懷海德(Whitehead)、Deser-Laurent、Bollini-Giambini-Tiomno

愛因斯坦廣義相對論

(參見後文1980年代至今的現代理論

非度規理論,則包括嘉當(Cartan)、Belinfante-Swihart。

關於馬赫原理,在這裡做一些陳述是洽當的,因為其中一些理論根據的是馬赫原理,例如懷海德(1922年),and many mention it in passing eg. Einstein-Grossmann (1913), Brans-Dicke (1961). 馬赫原理可以被想作是介於牛頓與愛因斯坦之間的妥協(half-way-house)。可以做如此描述[1]

  • 牛頓:絕對空間與時間。
  • 馬赫:參考系源自於宇宙中物質的分布。
  • 愛因斯坦:沒有絕對的參考系。

目前為止,所有的實驗證據指出馬赫原理是不正確的,但其可能性尚未被完全排除。

早期理論(1686年至1916年)[编辑]

早期重力理論——指的是廣義相對論之前的理論——包括有牛頓(1686年)、愛因斯坦(1912年a & b)、愛因斯坦與格羅斯曼(Grossmann)(1913年)、諾德斯特洛姆(Nordström)(1912年、 1913年)以及愛因斯坦與佛克(Fokker)(1914年)。

在牛頓(1686年)理論中(以更近代的數學重寫),質量密度\rho\,產生了一個純量場\phi\,

{\partial^2 \phi \over \partial x^j \partial x^j}=4 \pi \rho \,


利用倒三角算符(Nabla operator)\nabla,可以很方面地寫成:

\nabla^2 \phi =4 \pi \rho\,

而純量場掌控了自由下落粒子的運動:

{ d^2x^j\over dt^2}+{\partial\phi\over\partial x^j\,}=0 \,

其中純量場為 \phi=GM/r \,

廣義相對論替代理論的測試[编辑]

理論與測試的發展是一個牽一個地進行著。多數測試可以被分類為(參見Will 2001):

  • 基本生存力(Basic Viability)
  • 愛因斯坦等效原理(Einstein's Equivalence Principle, EEP)
  • 參數化後牛頓形式(Parametric Post-Newtonian, PPN)
  • 強場重力(Strong Gravity)
  • 重力波(Gravitational Waves)

理論測試結果[编辑]

一些理論的PPN參數實測值[编辑]

(細節參見威爾(Will)(1981年)與倪維斗(Ni)(1972年)。米斯納(Misner)等人(1973年)製表將倪氏參數記號轉換成威爾的版本。)

廣義相對論至今已經超過90歲,而不斷繼起的重力替代理論卻無法與更精確的觀測結果相一致。更細節的描述請見參數化後牛頓形式(Parameterized post-Newtonian formalism, PPN)。

下表列舉了為數眾多的理論之PPN值。如果格中的值跟行頂格子的值相同,則表示完整的的式子太複雜而無法列在此處;例如:行頂格子為β參數,而Bergmann(1968年), Wagoner(1970年)的格子值也是β。

\gamma \beta \xi \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \zeta_1 \zeta_2 \zeta_3 \zeta_4
愛因斯坦(1916年)
廣義相對論
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
純量-張量理論
Bergmann(1968年), Wagoner(1970年) \textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega} \beta 0 0 0 0 0 0 0 0
NordtVedt(1970年), Bekenstein(1977年) \textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega} \beta 0 0 0 0 0 0 0 0
布蘭斯-狄克(1961年) \textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega} 1 0 0 0 0 0 0 0 0
向量-張量理論
Hellings-Nordtvedt(1973年) \gamma \beta 0 \alpha_1 \alpha_2 0 0 0 0 0
Will-Nordtvedt(1972年) 1 1 0 0 \alpha_2 0 0 0 0 0
雙度規理論
Rosen(1975年) 1 1 0 0 c_0/c_1-1 0 0 0 0 0
Rastall(1979年) 1 1 0 0 \alpha_2 0 0 0 0 0
萊特曼-李(1973年) \gamma \beta 0 \alpha_1 \alpha_2 0 0 0 0 0
層狀理論
李-萊特曼-倪(1974年) ac_0/c_1 \beta \xi \alpha_1 \alpha_2 0 0 0 0 0
倪維斗(1973年) ac_0/c_1 bc_0 0 \alpha_1 \alpha_2 0 0 0 0 0
純量場論
愛因斯坦(1912年){非廣義相對論} 0 0 -4 0 -2 0 -1 0 0†
Whitrow-Morduch(1965年) 0 -1 -4 0 0 0 -3 0 0†
羅森(1971年) \lambda \textstyle\frac{3}{4}+\textstyle\frac{\lambda}{4} -4-4\lambda 0 -4 0 -1 0 0
Papetrou (1954年a, 1954年b) 1 1 -8 -4 0 0 2 0 0
倪維斗(1972年)(層狀) 1 1 -8 0 0 0 2 0 0
Yilmaz(1958年、1962年) 1 1 -8 0 -4 0 -2 0 -1†
Page-Tupper(1968年) \gamma \beta -4-4\gamma 0 -2-2\gamma 0 \zeta_2 0 \zeta_{ 4}
諾德斯特洛姆(1912年) -1 \textstyle\frac12 0 0 0 0 0 0 0†
諾德斯特洛姆(1913年)、愛因斯坦-佛克(1914年) -1 \textstyle\frac12 0 0 0 0 0 0 0
倪維斗(Ni)(1972年)(平直) -1 1-q 0 0 0 0 \zeta_2 0 0†
Whitrow-Morduch(1960年) -1 1-q 0 0 0 0 q 0 0†
Littlewood(1953年)、Bergman(1956年) -1 \textstyle\frac12 0 0 0 0 -1 0 0†

† 此理論不完備,且\zeta_{ 4}可以是兩值中的一者。最接近零的值在此列出。

至今所有實驗測試與廣義相對論相符,因此PPN分析立即刪除了表中所有的純量場論。

此處未有針對懷海德(1922年)、Deser-Laurent(1968年)、Bollini-Giamiago-Tiomino(1970年)三者的完整PPN參數列表。但在這些三個情形中\beta=\gamma,這與廣義相對論的情形以及實驗結果嚴重違背。特別的是,這些理論預測的地球潮汐振幅是不正確的值。

腳註[编辑]

  1. ^ 這並非馬赫原先陳述的方式,參見馬赫原理的其他變型

參考文獻[编辑]

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