投射模

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交換代數中,一個 R 上的投射模自由模的推廣,它有多種等價的定義;就幾何的觀點,投射模之於自由模一如向量叢之於平凡向量叢。在範疇論的語言中,投射模可以推廣為一個阿貝爾範疇中的投射對象

投射模首見於昂利·嘉當塞繆爾·艾倫伯格的重要著作 Homological Algebra,由此定義的投射分解是同調代數的基本概念之一。

定義[编辑]

此節給出投射模的兩種等價定義。

自由模的直和項[编辑]

投射模最直接的刻劃是一個自由模的直和項;換言之,一個模 P 是投射模,若且唯若存在另一個模 Q 使得 F := P \oplus Q自由模。此時 PF 的一個投影態射的項。

提昇性質[编辑]

較容易操作也較符合範疇論思想的定義是利用提昇性質。模 P 是投射模,若且唯若對任何模滿射 f: N \twoheadrightarrow M 及模態射 g: P \rightarrow M,存在模態射 h: P \rightarrow N 使得 f \circ h = g(請留意:在此不要求唯一性)。用交換圖表現則更明瞭:

Projective module.png

此定義的優勢在於它可以推廣到阿貝爾範疇,從而引至投射對象的概念,在此並不需要考慮自由對象。反轉箭頭則得到對偶概念內射模

另一種在探討Ext函子時特別有用的表述如下:模 P 是投射模,若且唯若任何正合序列

 0 \longrightarrow M' \longrightarrow M \longrightarrow M'' \longrightarrow 0

都誘導出正合序列

0 \longrightarrow \mathrm{Hom}(P, M') \longrightarrow \mathrm{Hom}(P, M) \longrightarrow \mathrm{Hom}(P, M'') \longrightarrow 0

換言之,\mathrm{Hom}(P,-)正合函子;實則對任何模 M,函子 \mathrm{Hom}(M,-) 總是左正和的,而投射性相當於右正合性。由此立刻得到投射模的同調刻劃:P 是投射模若且唯若

 \forall i > 0, \; \mathrm{Ext}^i(P, -) = 0

向量叢與局部自由模[编辑]

投射模理論的想法之一是向量叢的類比,對於緊豪斯多夫空間上的實值連續函數環,或緊光滑流形上的光滑函數,此類比有嚴格的表述,詳閱條目Swan 定理

向量叢是局部自由的;只要環上有合適的局部化概念,例如對環的一個積性子集局部化,則可以定義局部自由模。對於諾特環上的有限生成模,其投射性等價於局部自由性。對於非諾特環,則存有局部自由但非投射模的例子。

性質[编辑]

  • 投射模的直和與直和項仍是投射模。
  • e = e^2 \in R,則 Re 是個投射左 R-模。
  • 投射模的子模不一定是投射模。使得所有投射左模的子模都是投射左模的環稱作左繼承的。
  • 一個環上的全體有限生成投射模構成一個正合範疇(亦見代數K-理論)。
  • 除環上的向量空間是自由模,因而是投射模。使所有模為投射模的環稱為半單環
  • 阿貝爾群視為 \mathbb{Z}-模;則投射模對應於自由阿貝爾群。一般而言,此性質對主理想域也成立。
  • 投射模皆為平坦模,反之不然,例如 \mathbb{Q} 是平坦 \mathbb{Z}-模,但是非投射。
  • 關於「局部自由=投射」的想法,Kaplansky 證出如下定理:局部環上的投射模皆為自由模。有限生成投射模的情形容易證明,一般情形則較困難。

塞爾問題[编辑]

Quillen-Suslin定理是另一個深入的結果:它斷言若 R主理想域,而 R[X_1, \ldots, X_n] 是其上的多項式環,則任何投射 R-模都是自由模。

此問題在域的情形由塞爾首先提出。Bass 解決了非有限生成模的情形,Quillen 與 Suslin 則同時而獨立地處理有限生成模的情形。

文獻[编辑]

  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X