预序关系

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在数学中，预序关系（简称预序，又称先序，preorder）是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

[编辑] 定义

考虑集合P及其上的二元关系≤。若≤具有自反性和传递性，则称≤为预序。具体来说，对任意P的元素a，b和c，下列性质成立：

a ≤ a (自反性)

若a ≤ b 且 b ≤ c，则a ≤ c (传递性)

带预序的集合称为预序集合。同时满足反对称性（若a ≤ b且b ≤ a，则a = b）的预序为偏序。

[编辑] 说明

作为特例，空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。

[编辑] 导出偏序

将预序集的等价元素等同起来，可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下：定义预序集X上的等价关系≈，使得a≈b当且仅当a ≤ b且b ≤ a。定义所得商集X/≈（所有~的等价类构成的集合）上的序关系≤_≈，使得[x] ≤_≈ [y]当且仅当x ≤ y。由≈的构造可知，≤_≈的定义与所选等价类的代表元素无关，故上述定义明确。易证该关系为一偏序。

[编辑] 举例

拓扑中网络收敛的定义使用预序比使用偏序可避免重要特征的丢失。
The embedding relation for countable total orderings.
图论中的graph-minor关系。
Preference, according to common models.

[编辑] 参见