Y-Δ变换

Δ形电路和Y形电路

Y-Δ变换或稱為星角變換，是一种把Y形电路转换成等效的Δ形电路，或把Δ形电路转换成等效的Y形电路的方法。它可以用来简化电路的分析。这一变换理论是由亚瑟·肯内利（Arthur Kennelly）於1899年发表。

基本的Y-Δ变换

设R₁、R₂、和R₃分别是Y形电路中从N₁、N₂、N₃到中点的阻抗，R_a、R_b、R_c分别是Δ形电路中N₁与N₃、N₁与N₂、N₂与N₃之间的阻抗。我们希望把Y形电路换成Δ形电路，或把Δ形电路换成Y形电路后，任意两个端点之间的阻抗仍然与原来的电路相等。

把Δ形电路变换成Y形电路

变换的基本思路是用$R'$和$R''$计算Y形电路端点的阻抗$R_y$，其中$R'$和$R''$是Δ形电路中对应节点到邻接节点间的阻抗：

$R_y = \frac{R'R''}{\sum R_\Delta}$

其中$R_\Delta$是Δ形电路的阻抗之和。具体公式如下：

$R_1 = \frac{R_aR_b}{R_a + R_b + R_c}$

$R_2 = \frac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}$

$R_3 = \frac{R_aR_c}{R_a + R_b + R_c}$

把Y形电路变换成Δ形电路

变换的基本思路是计算Δ形电路的$R_\Delta$：

$R_\Delta = \frac{R_P}{R_\mathrm{opposite}}$

其中$R_P = R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1$是Y形电路中的阻抗两两相乘之和，$R_\mathrm{opposite}$是$R_\Delta$所在支路对侧的端点在Y形电路中对应端点的阻抗。每一支路的阻抗计算公式为：

$R_a = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_2}$

$R_b = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_3}$

$R_c = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_1}$

图论

在图论中，Y-Δ变换表示将一个图的Y形子图用等价的Δ形子图代替。变换後的边数不变，但顶点数和回路数会变化。如果这两个图可以通过一系列的Y-Δ变换互相变换得到，那么就可以成这两个图Y-Δ等价。例如，佩特森圖就是一个Y-Δ等价类。

推导

Δ形负载到Y形负载的变换方程

要将Δ形负载{$R_a, R_b, R_c$}变换成Y形负载{$R_1,R_2,R_3$}，需要比较二者对应节点的阻抗。要计算两种接法的阻抗，需要将电路中的一个节点断开。

Δ形电路中N₃断开後，N₁与N₂间的阻抗为

$\begin{align} R_\Delta(N_1, N_2) &= R_b \parallel (R_a+R_c) \\[8pt] &= \frac{1}{\frac{1}{R_b}+\frac{1}{R_a+R_c}} \\[8pt] &= \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_a+R_b+R_c}. \end{align}$

将{$R_a, R_b, R_c$}之和用$R_T$表示以简化方程：

$R_T = R_a + R_b + R_c$

得到

$R_\Delta(N_1, N_2) = \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T}$

Y形电路中N₁与₂的对应阻抗为

$R_Y(N_1, N_2) = R_1 + R_2$

由以上两式得到：

$R_1+R_2 = \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T}$   (1)

同理，对於$R(N_2,N_3)$与$R(N_1,N_3)$，也分别有

$R_2+R_3 = \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T}$   (2)

$R_1+R_3 = \frac{R_a(R_b+R_c)}{R_T}.$   (3)

由此，{$R_1,R_2,R_3$}的值可以由以上式子的线性组合（相加或相减）求出。

例如，将式(1)和式(3)相加，然後减去式(2)会得到

$R_1+R_2+R_1+R_3-R_2-R_3 = \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T} + \frac{R_a(R_b+R_c)}{R_T} - \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T}$

$2R_1 = \frac{2R_bR_a}{R_T}$

於是

$R_1 = \frac{R_bR_a}{R_T}.$

其中 $R_T = R_a + R_b + R_c$

求出所有的阻抗值如下：

$R_1 = \frac{R_bR_a}{R_T}$ (4)

$R_2 = \frac{R_bR_c}{R_T}$ (5)

$R_3 = \frac{R_aR_c}{R_T}$ (6)

Y形负载到Δ形负载的变换方程

令

$R_T = R_a+R_b+R_c$.

则Δ形电路到Y形电路的变换方程变为

$R_1 = \frac{R_aR_b}{R_T}$   (1)

$R_2 = \frac{R_bR_c}{R_T}$   (2)

$R_3 = \frac{R_aR_c}{R_T}.$   (3)

将以上式子两两相乘得到

$R_1R_2 = \frac{R_aR_b^2R_c}{R_T^2}$   (4)

$R_1R_3 = \frac{R_a^2R_bR_c}{R_T^2}$   (5)

$R_2R_3 = \frac{R_aR_bR_c^2}{R_T^2}$   (6)

上式之和为

$R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{R_aR_b^2R_c + R_a^2R_bR_c + R_aR_bR_c^2}{R_T^2}$   (7)

将右侧式子中的公因式$R_aR_bR_c$提出，约去分子中的$R_T$和分母中的一个$R_T$後得到

$R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{(R_aR_bR_c)(R_a+R_b+R_c)}{R_T^2}$

$R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{R_aR_bR_c}{R_T}$ (8)

注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性，

将式(8)除以式(1)得到

$\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_1} = \frac{R_aR_bR_c}{R_T}\frac{R_T}{R_aR_b},$

$\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_1} = R_c,$

得到$R_c$的表达式。同理，将式(8)除以$R_2$或$R_3$也能得到相应的表达式。

参考文献

• William Stevenson，“Elements of Power System Analysis 3rd ed.”，McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4