Y-Δ变换

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
Δ形电路和Y形电路

Y-Δ变换或稱為星角變換,是一种把Y形电路转换成等效的Δ形电路,或把Δ形电路转换成等效的Y形电路的方法。它可以用来简化电路的分析。这一变换理论是由亚瑟·肯内利(Arthur Kennelly)於1899年发表。[1]

基本的Y-Δ变换[编辑]

设R1、R2、和R3分别是Y形电路中从N1、N2、N3到中点的阻抗,Ra、Rb、Rc分别是Δ形电路中N1与N3、N1与N2、N2与N3之间的阻抗。我们希望把Y形电路换成Δ形电路,或把Δ形电路换成Y形电路后,任意两个端点之间的阻抗仍然与原来的电路相等。

把Δ形电路变换成Y形电路[编辑]

变换的基本思路是用R'R''计算Y形电路端点的阻抗R_y,其中R'R''是Δ形电路中对应节点到邻接节点间的阻抗:

R_y = \frac{R'R''}{\sum R_\Delta}

其中R_\Delta是Δ形电路的阻抗之和。具体公式如下:

R_1 = \frac{R_aR_b}{R_a + R_b + R_c}
R_2 = \frac{R_bR_c}{R_a + R_b + R_c}
R_3 = \frac{R_aR_c}{R_a + R_b + R_c}

把Y形电路变换成Δ形电路[编辑]

变换的基本思路是计算Δ形电路的R_\Delta

R_\Delta = \frac{R_P}{R_\mathrm{opposite}}

其中R_P = R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1是Y形电路中的阻抗两两相乘之和,R_\mathrm{opposite}R_\Delta所在支路对侧的端点在Y形电路中对应端点的阻抗。每一支路的阻抗计算公式为:

R_a = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_2}
R_b = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_3}
R_c = \frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_1}

图论[编辑]

图论中,Y-Δ变换表示将一个图的Y形子图用等价的Δ形子图代替。变换後的边数不变,但顶点数和回路数会变化。如果这两个图可以通过一系列的Y-Δ变换互相变换得到,那么就可以成这两个图Y-Δ等价。例如,佩特森圖就是一个Y-Δ等价类

推导[编辑]

Δ形负载到Y形负载的变换方程[编辑]

要将Δ形负载{R_a, R_b, R_c}变换成Y形负载{R_1,R_2,R_3},需要比较二者对应节点的阻抗。要计算两种接法的阻抗,需要将电路中的一个节点断开。

Δ形电路中N3断开後,N1N2间的阻抗为


\begin{align} 
R_\Delta(N_1, N_2) &= R_b \parallel (R_a+R_c) \\[8pt]
&= \frac{1}{\frac{1}{R_b}+\frac{1}{R_a+R_c}}    \\[8pt]
&= \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_a+R_b+R_c}.
\end{align}

将{R_a, R_b, R_c}之和用R_T表示以简化方程:

 R_T = R_a + R_b + R_c

得到

 R_\Delta(N_1, N_2) = \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T}

Y形电路中N12的对应阻抗为

R_Y(N_1, N_2) = R_1 + R_2

由以上两式得到:

R_1+R_2 = \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T}   (1)

同理,对於R(N_2,N_3)R(N_1,N_3),也分别有

R_2+R_3 = \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T}   (2)


R_1+R_3 = \frac{R_a(R_b+R_c)}{R_T}.   (3)

由此,{R_1,R_2,R_3}的值可以由以上式子的线性组合(相加或相减)求出。

例如,将式(1)和式(3)相加,然後减去式(2)会得到


R_1+R_2+R_1+R_3-R_2-R_3 =
  \frac{R_b(R_a+R_c)}{R_T}
+ \frac{R_a(R_b+R_c)}{R_T}
- \frac{R_c(R_a+R_b)}{R_T}
2R_1 = \frac{2R_bR_a}{R_T}

於是

R_1 = \frac{R_bR_a}{R_T}.

其中  R_T = R_a + R_b + R_c

求出所有的阻抗值如下:

R_1 = \frac{R_bR_a}{R_T} (4)


R_2 = \frac{R_bR_c}{R_T} (5)


R_3 = \frac{R_aR_c}{R_T} (6)

Y形负载到Δ形负载的变换方程[编辑]

R_T = R_a+R_b+R_c.

则Δ形电路到Y形电路的变换方程变为

R_1 =  \frac{R_aR_b}{R_T}   (1)


R_2 =  \frac{R_bR_c}{R_T}   (2)


R_3 =  \frac{R_aR_c}{R_T}.   (3)

将以上式子两两相乘得到

R_1R_2 = \frac{R_aR_b^2R_c}{R_T^2}   (4)


R_1R_3 = \frac{R_a^2R_bR_c}{R_T^2}   (5)


R_2R_3 = \frac{R_aR_bR_c^2}{R_T^2}   (6)

上式之和为

R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{R_aR_b^2R_c + R_a^2R_bR_c + R_aR_bR_c^2}{R_T^2}   (7)

将右侧式子中的公因式R_aR_bR_c提出,约去分子中的R_T和分母中的一个R_T後得到

R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{(R_aR_bR_c)(R_a+R_b+R_c)}{R_T^2}
R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3 = \frac{R_aR_bR_c}{R_T} (8)

注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性,

将式(8)除以式(1)得到

\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_1} = \frac{R_aR_bR_c}{R_T}\frac{R_T}{R_aR_b},
\frac{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}{R_1} = R_c,

得到R_c的表达式。同理,将式(8)除以R_2R_3也能得到相应的表达式。

參閱[编辑]

参考文献[编辑]

  • William Stevenson,“Elements of Power System Analysis 3rd ed.”,McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
  1. ^ A.E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.