霍普夫代数

在数学中，霍普夫代数是一类双代数，亦即具有相容的结合代数与余代数结构的向量空间，配上一个对极映射，后者推广了群上的逆元运算 $g\mapsto g^{-1}$。霍普夫代数以数学家海因茨·霍普夫命名，此类结构广见于代数拓扑、群概形、群论、量子群等数学领域。

定义

所谓霍普夫代数，是指一个域 $K$ 上的双代数 $(H,\nabla ,\Delta ,\eta ,\epsilon )$，配上一个线性映射 $S:H\to H$（称为对极映射），使得下述图表交换：

利用 Sweedler 记号，此定义亦可表为

$\forall c\in C,\quad S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1$

对极映射可理解为 $\mathrm {id} :H\to H$ 对卷积之逆，故其若存在必唯一。当 $S^{2}=\mathrm {id}$，则称 $H$ 为对合的；交换或余交换霍普夫代数必对合。

根据定义，有限维霍普夫代数的对偶空间也带有自然的霍普夫代数结构。

例子

群代数. 设 $G$ 为群，可赋予群代数 $K[G]$ 下述霍普夫代数结构：

• $\Delta :K[G]\to K[G]\otimes K[G],\quad \forall g\in G,\Delta (g)=g\otimes g$
• $\epsilon :K[G]\to K,\quad \forall g\in G,\epsilon (g)=1$
• $S:K[G]\to K[G],\quad \forall g\in G,S(g)=g^{-1}$

有限群上的函数. 设 $G$ 为有限群，置 $K^{G}$ 为所有 $G\to K$ 的函数，并以逐点的加法与乘法使之成为结合代数。此时有自然的同构 $K^{G}\otimes K^{G}=K^{G\times G}$。定义：

• $\Delta :K^{G}\to K^{G\times G},\quad \Delta (f)(x,y)=f(xy)$
• $\epsilon :K^{G}\to G,\quad \epsilon (f)=f(e)$
• $S:K^{G}\to K^{G},\quad S(f)(x)=f(x^{-1})$

仿射代数概形的座标环：处理方式同上。

泛包络代数. 假设 ${\mathfrak {g}}$ 是域 $K$ 上的李代数，置 $U:=U({\mathfrak {g}})$ 为其泛包络代数，定义：

• $\Delta :U\to U\otimes U,\quad \forall g\in {\mathfrak {g}},\Delta (x)=x\otimes 1+1\otimes x$
• $S:U\to U,\quad \forall x\in {\mathfrak {g}},S(x)=-x$

后两条规则与交换子相容，因此可唯一地延拓至整个 $U$ 上。

李群的上同调

李群的上同调代数构成一个霍普夫代数，其代数结构由上同调的上积给出，余代数结构则来自群乘法 $G\times G\to G$，由此导出

$H^{\bullet }(G)\to H^{\bullet }(G\times G)=H^{\bullet }(G)\otimes H^{\bullet }(G)$

对极映射来自 $G\to G:g\mapsto g^{-1}$。这是霍普夫代数的历史起源，事实上，霍普夫借着研究这种结构，得以证明李群上同调的结构定理：

定理（霍普夫，1941年）.

设 $A$ 为 $K$ 上的有限维分次交换、余交换之霍普夫代数，则 $A$（视为 $K$-代数）同构于由奇数次元素生成的自由外代数。

量子群与非交换几何

主条目：量子群

上述所有例子若非交换便是余交换的。另一方面，泛包络代数的某些“变形”或“量子化”可给出非交换亦非余交换的例子；这类霍普夫代数常被称为量子群，尽管严格而言它们并不是群。这类代数在非交换几何中相当重要：一个仿射代数群可以由其座标环构成的霍普夫代数刻划，而这些霍普夫代数的变形则可设想为某类“量子化”了的代数群（实则非群）。

文献

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
• Ross Moore, Sam Williams and Ross Talent: Quantum Groups: an entrée to modern algebra
• Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras, IHES preprint, September 2006, 81 pages