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無效證明

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數學裡,有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的,其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已,但可以被用來顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形 此一錯誤為採一非單射函數,以觀察對某些,會有,來(錯誤地)做出的結論。零除數是此類錯誤的一特例;為將映射至的函數,而其錯誤的一步是起於將的等式做成的結論。相似地,下面證明了的句子也是以函數的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個會使得的一正確申論,然後做出了的一錯誤結論。

算術例子

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證明1是最大的正整數

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  • 假設最大的正整數不是,而是,有
  • 為正的,所以由得到
  • 但是還是正整數,可是沒有任何正整數比大,矛盾;
  • 所以最大的正整數是1

Q.E.D.

此一證明是無效的,因為最大的正整數不存在,因此不能如此假設。

證明-1等於1

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  • 由一等式開始
  • 將兩邊轉成假分數
  • 將兩邊開方
  • 其會等於
  • 兩邊同乘以來消去分數
  • 但任一數的開方之平方會給出原本的數來,故

Q.E.D.

此一證明是無效的,因為負數的開方不是實數,推出是錯誤的(事實上,)。

證明1等於2

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1.令,且

2.將兩邊乘以a

3.將兩邊減掉

4.將兩邊因式分解

5.將兩邊除以

6.因為因此

7.簡化

8.將兩邊除以b

Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步,正因為a=b所以a-b等於,而除以零是無效的。

證明4等於5

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  • 由一等式開始
  • 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示
  • 將兩邊做因式分解
  • 將兩邊加上相同的數
  • 將兩邊再做一次因式分解
  • 將兩邊開方
  • 消去相同的項

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於不表示的這一事實。到此之前的算術都是正確的,而事實上,。需注意的是,若將4減去,會得到。若再平方的話,則會得到正的。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話,則將會看見會等於。原始的式子事實上是會導致一個正確的等式的(若此一問題是以此一純粹的方式運算的話)。


證明1+1=0

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Q.E.D.

此證明的錯誤在於只有在a與b不皆為負數才成立,並不等於

證明0=1

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首先,設定一個無窮級數。

因為,因此:

拆括號之後在於不同的地方加上括號:

,因此:

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於,無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下,將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的,因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數

證明任何數字等於1/任何數字

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Q.E.D.

這個證明的錯誤在於, 不等於 ,正確等式應是(下一步:)。

證明0/0等於0

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首先,我們知道:

由於

因此

因此

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於,成立的前提有

證明任意兩數都是相等的

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和立方差立方公式可知:

由於

代入,可得:

因此:

代入,可得:

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於:

1、在以上的假設下,可得,所以並不是獨立的;

2、在複數域中,由得不出。在此證明中,由得出是錯誤的。

幾何例子

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第一題:證明任何三角形都是正三角形

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第一題錯誤的證圖
第一題正確的證圖
第二題錯誤的證圖
第二題正確的證圖

給定三角形△ABC,證明AB = AC:

  1. 作∠A的角平分線
  2. 作BC的垂直平分線,並設BC的中點為D。
  3. 設這兩條直線的交點為P。
  4. 從P向AB和AC作垂線,並設垂足為E和F。
  5. 作直線PB和PC。
  6. △EAP ≅ △FAP(AP = AP;∠PAF ≅ ∠PAE由於AP平分∠A;∠AEP ≅ ∠AFP都是直角)。
  7. △PDB ≅ △PDC(∠PDB、∠PDC是直角;PD = PD;BD = CD由於PD平分BC)。
  8. △EPB ≅ △FPC(EP = FP由於△EAP ≅ △FAP;BP = CP由於△PDB ≅ △PDC;∠EPB ≅ ∠FPC由於它們是對頂角)。
  9. 因此,AE ≅ AF,EB ≅ FC,AB = AE + EB = AF + FC = AC。
  10. 同理,AB = BC,AC = BC。

證畢。

這個證明的錯誤在於,只有在△ABC為等腰三角形,P才會位於三角形的內部,而且AP與DP會重合。

第二題:證明直角等於鈍角

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給定一個矩形ABCD,證明∠DCB=∠ECB;

  1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
  2. 聯結AE。
  3. 作BC、AE的中垂線,它們的垂足分別是G、F,兩條直線交於H。
  4. 在中垂線上的點到線段兩端的距離是相等的,所以HA=HE,HB=HC。
  5. 矩形的對邊相等,得AB=DC;加上作圖要求,得AB=EC。
  6. 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。於是得∠ABH=∠ECH。
  7. 由於HB=HC,則得∠HBC=∠HCB。
  8. 等量減等量,得∠ABC=∠ECB。
  9. 矩形的四個角都是90°,得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於,由於△ABH≅△ECH,則∠BHA=∠CHE,即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE,可以把∠AHE看作是∠BHC的旋轉,因AH穿過了矩形ABCD,則EH是不可能穿過矩形ABCD的。

微積分例子

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證明0等於1

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我們從計算以下的不定積分開始:

利用分部積分法,可得:

因此:

所以,有:

證畢。

這個證明的錯誤在於,忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算,會得到

參見

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