代數分式

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代數分式是指分子及分母都是代數式的分數,像 . 都是代數分式。

有理分式是指分子及分母都是多項式的分式,像 為有理分式,但 的分子為根式,不是多項式,因此不是有理分式。

術語[编辑]

在代數分式 中,被除數稱為分子,除數稱為分母,兩者都是代數分式的項。

若代數分式的分子或分母中包括複數,則稱為複數分式。

簡分式是其分子或分母都不是分式的代數分式,若一個表示式不是以分式的形式表示,則稱為整式,不過只要將分母設為1,即可以將整式表示為代數分式,帶分式指整式和分式的代數和。

有理分式[编辑]

若代理分式的a和b都是多項式,此分式稱為有理代數分式[1],或簡稱為有理分式[2][3]。有理分式也稱為有理表示式或有理函數。若有理分式 滿足,稱為真分式,否則稱為假分式,像 is 為真分式,而 是假分式。假分式可以表示為整式(可能是常數)及真分式的和,例如以上提到的假分式可以表示為

其中第二項為真有理分式,二個真分式的和也會是真分式,有時會將真分式的分母因式分解,再將真分式表示數個真因式,其分母分別為原分母的因式(或因式次方),這稱為部份分式,例如以下等號右邊的即為部份分式

因此等號右邊的稱為部份分式,例如真分式積分時會先進行部分分式分解,再進行積分,稱為部分分式积分法

無理分式[编辑]

無理分式是指分式中有變數的幂式為小數[4],像以下的分式即為無理分式

將無理分式變為有理分式的過程稱為有理化,每個根式為單項的無理分式可以用以下的方式有理化:找到所有幂次分母的最小公倍數,再將變數用另一變數的幂次取代,使原來的根式都變為新變數的整數幂次,例如在上式中,幂次分母的最小公倍數為6,因此可以令 ,得到

腳註[编辑]

  1. ^ Bansi Lal. Topics in Integral Calculus. 2006: 53. 
  2. ^ Ėrnest Borisovich Vinberg. A course in algebra. 2003: 131. 
  3. ^ Parmanand Gupta. Comprehensive Mathematics XII. : 739. 
  4. ^ Washington McCartney. The principles of the differential and integral calculus; and their application to geometry. 1844: 203. 

參考資料[编辑]

Brink, Raymond W. IV. Fractions. College Algebra. 1951.