算额

奈良县圆満寺的算额

算额问题的典型例子示意图

算额（日语：算額／さんがく ^Sangaku），是指在日本（主要在江户时代）书写在匾额或绘马的和算问题及其解答。奉纳算额的风俗是日本独有的文化，而其意义有三：感谢神佛的恩赐，表示对和算教师的尊崇，以及展示自己的研究成果。

因为神社和寺庙是当时日本交流的一个最佳场所。因此，算额可以存在很高的关注度，也能引起有兴趣人士的探讨和共鸣。其不仅仅是一些和算家会挂出算额，一些和算爱好者也会悬挂。而在算额上所书写的数学问题，比起代数问题是几何问题居多。至于典型的算额题目则是求边长或者圆的直径，其中当然也包含了直线、三角形、内切圆和圆周长等问题，且多为讨论圆、椭圆、各种多边形之间的相容、相切关系的几何题。

江户时代中期，日本全国推广“奉献”的价值观，而算额就是和算人士之奉献精神的产物。算额在江户时代最为鼎盛，而至昭和初期后逐渐没落。近年来，各个地方又都重新审视了算额的价值。接受算额的寺社逐渐增加，而奉纳算额的人亦有所增加。

算额的样式

一块算额包括1至10个不等的问题，在整块算额通常前面的部分是圆或三角形等几何图形构成的图，而后是：题目、答案及解法。位于其后方的则是和算流派、其教师、展示者的名称、奉献的日期。题目通常会选择较为复杂的几何问题，并辅以彩绘图形。

在古代数学文本中，除了题目和答案之外，还有所谓的“术”，就是我们今日的解题方法。但通常“术”只是几句话的公式，真正的解答还是需要读者自行推敲。

范例

金王八幡宫（东京都涩谷区）的算额。其是涩谷区指定的实物民俗文化财。嘉永3年（西历1850年）奉纳绘马。亦是左侧题目之算额原本。

以下为一面东京都涩谷区金王八幡宫所藏算额的内容。

今有如圖宿名一十五球 只云角亢二球周寸相併一十六寸 又云心尾箕三球周寸相併三十寸重 云虚危室壁奎五球周寸相併六十三寸 問角球周寸幾何

答 七寸七分六厘三毛三糸 二忽一微有奇

術曰依方裎招差術得初數六十九個 中數五千三百九十五箇 定數七万九千七百六十個 列初數以減中數 加定數 以一万九百六十個除之得角球周寸合問

“

”

関流 水埜與七郎正衜門人 中渋谷村 嘉永三年 戌 五月吉日 海老澤惣右衛門正泰

算额上方画有十五个圆，并涂以不同颜色。在拓本上可见第一段描述了题目的已知及问题；第二段会以“答”字来标注后面的文字为解答，并将解答以古代的度量单位书写成文；第三段简短地描述了解题思路及其所使用公式，而第三段一定会有“术曰”书写于段首。最后一段会书写当时的日期及奉纳者姓名；而其从师姓名、和算流派、职位称呼等，则是有则书之，无则可免。

意义

奉纳算额的风俗是日本独有的文化，一部分的算额挂马还是被认证为日本的重要文化财产和民俗文化财产。在日文中，“算”字有计算、数学的意涵，“额”指的就是木制的书版。

奉纳算额的意义有三：

1. 感谢神佛的恩赐；
2. 表示对和算教师的尊崇；以及
3. 展示自己的研究成果。

在江户时代，日本人会设计各种式样的匾额到邻近的寺庙或神社以对神佛表达谢意。而其中，和算家是把数学问题和答案用汉语文言文书写在板上，以表神佛使自己能解决和算问题的谢意，而这类绘马就被称为“算额”。

当时日本的神社和寺庙是社会交流的平台。因此，算额会有很高的关注度，也能引起有兴趣人士的共鸣和探讨，算额于当时相当于是数学期刊。其不仅仅是和算家会挂出算额，一些和算爱好者亦会悬挂。

算额上的问题通常不会写出完整的解答过程：一方面是由于绘马的书写面积所致；另一方面是由于算额上的这些题目是用来训练学生数学实作的素材。

学习与研究和算的人最初是为了自己能够顺利地进行数学研究，以及数学能力不断提高而向神佛祈愿，向神社佛阁奉纳绘马；当然也包括对自己解数学问题因而感谢神佛恩赐而还愿的算额，其目的在于勉学。以后演变成各种愿望都有：有祈愿家庭安全的、有祈愿学术私塾繁荣的、有祈愿子孙出生的，而最多的依然是祈愿自己能够解难题、能够构造好的数学问题，或者是为炫耀自己数学能力的优秀。

一般都是在绘马板上写出数学问题，其中可能会要求读者给予解答，亦有奉纳者自己给出解答的。和算家会通过算额问题进行学术交流与学术辩论，而和算学派中的最上流与关流之间的争论最为显著。

历史

算额出现于江户时代，但最早制作、出现于具体何时，今已不可考。而其名称最早可追溯至江户幕府末期的《道中日记》。

记载中最早的算额出现于明暦3年（西元1657年）。据贞享元年（西元1684年）出版的《増补·算法阙疑抄》记载，那枚算额是由在二本松城下开私塾的初坂重春所奉纳的；而同年间，在现今的白河市明神前，亦有广部俊陈的门人奉纳一枚算额予堺明神。而根据村濑义益在1673年的著作《算法勿惮改》第五卷中记载的“目黑之好”，当时就有和算家将数学题目与解法制成算额，挂在目黑不动明王座前。

现存最为古老的算额则是在天和3年（西元1683）奉纳予栃木县佐野市星宫神社中的一枚算额。惟该算额因为一场发生在1975年遭受损坏，以致无法阅读，而现在星宫神社的算额则是复刻品。现存第二古老的算额则位于京都八坂神社，于元禄四年（西元1691年）奉纳，其1993年被列为国家重要文化财。

跟据村濑义益在延宝八年（西元1681年）所撰的《算学渊底记》记载，17世纪中期在江户的各地都有奉纳算额，十分之鼎盛。书中亦详细描述了目黑不动尊的泷泉寺的算额。据估计，京都、大阪的算额历史已十分悠久。

在17世纪下半叶，日本出现了收集算额上题目的问题集书目。而日本最早出版的书籍，就是宽政元年（西元1789年）藤田贞资记录算额问题的书籍——《神壁算法》。江户时代中期，日本全国推广“奉献”的价值观，尤其是在宽政、享和、文化、文政年间，而算额就是和算人士奉献精神的产物。据传当时一年有超过100枚算额无偿奉献以用于在寺社进行和算教学。进入明治时代后，算额文化依然有被传承下来，但直至昭和初期后就已经休止了。

在明治时期，数学的概念正式从西方引入日本，而奉纳算额的风俗亦使得数学被引入过程更为容易。

轶闻

依据《赛祠神算》记载，关流第五代传人——石田玄圭的门人大泽熊吉在天满宫奉纳了一枚算额。同年的十月，最上流的大川荣信亦在同一地点奉纳算额。而后者的题目与前者雷同，但解法则较前者优良。于是就展开了关流和最上流之间的流派战争。

算额的分布与保存状况

年代	算额数量
17世纪晚期	8
18世纪早期	33
18世纪晚期	284
19世纪早期	1,184
19世纪晚期	795
20世纪	133
年代不明	188
总计	2,625
来源：

除北海道地区与冲绳地区没有发现算额外，日本全国几乎所有地区都出现过算额。由学者统计，江户时代至明治时代于日本总共呈献了2,625块算额；但由于火灾、气候缘故、损毁、遗失等因素，时至今日仅存800馀枚。以奉献数量最多的东京而言，原本有385枚，但现存不过17枚。截止至1997年，全国范围内共发现现存算额约884枚。2012年左右又新发现一些算额，现存算额总数大约达到900馀枚。奉献算额的年代及其数量，其中尚有188枚算额的年代不明。

根据1997年进行的调查结果显示，日本全境共有975枚的算额保存至今。在这些算额中，铭刻年份最为久远的供奉在枥木县佐野市的星宫神社，其算额上铭刻年份为天和三年（西元1683年）。但其由于遭遇火灾导致其表面被毁，难以阅读。所以亦有人将供奉于京都市北野天满宫的贞享三年（西元1686年）的算额，视为最为古老的算额。

关于算额的分布情况，主要是在东北地方较多，尤其是东京（江户）、福岛县和岩手县等地，这可能是受会田安明及其门派——最上流的影响。根据其算额上的信息，有学者就推测“从江户时代到明治初期的日本人的数学水平相当高”；也可以推断出当时除了和算家对算额甚是喜爱外，“和算爱好者亦是对此情有独钟”。

算额的分布情况

长野县的算额分布图。
其只计算昭和时代初期及其以前的算额数量，算额于不同行政区域的密度以红色深度显示

现存 复原 小计 文献 合计 北海道 0 0 0 6 6 东北 301 31 332 375 707 关东 259 15 274 640 914 中部 164 32 196 357 553 近畿 85 10 95 160 255 中国 29 1 30 46 76 四国 38 0 38 10 48 九州 8 2 10 34 44 不明 0 0 0 18 18 合计 884 91 975 1,641 2,621		现存 复原 小计 文献 合计 福岛 111 19 130 151 281 岩手 97 5 102 85 187 埼玉 87 6 93 54 147 群马 77 3 80 80 160 长野 54 1 55 54 109 宫城 48 0 48 80 128 山形 37 6 43 34 77 福井 23 21 43 2 45 千叶 33 1 34 73 107 兵库 27 6 33 35 68
来源：

根据深川英俊的研究，最早有文献记载出现的算额是在17世纪50年代至60年代。目前算额分布数量较多的地方是关东地方和东北地方。其中，福岛县现存数量最多，为103枚；第二是岩手县，有93枚；再者是埼玉县，存有91枚；以及群马县。而山区村庄中，分布最密集的是长野县木岛平村，一村共有8枚。

单一地方被确定拥有最多算额的，是爱媛县松山市的伊佐尔波神社，共有22枚算额。22枚算额中最为久远的是在享和3年（1803年）时，由丸山良玄的学生——大西佐兵卫义全奉纳的；而最新的是在昭和12年（1937年）时，由村上先生的学生——中村正教奉纳的。而伊佐尔波神社将其神社内的算额，纪录在《道后八幡伊佐尔波神社的算额》（『道後八幡伊佐爾波神社の算額』）中，并在神社内发行。

影响

近代

数学爱好者将算额作为一种游艺，也有一些人还通过游历以数学为生计，江户时代就出现所谓的“游历算家”。他们到处旅行指导数学，首先去寺社调查有无算额，如果有就再去拜访奉纳者；如果找不到这些奉纳者，就去找一些庄主、名主和富裕的农民，说自己是数学家，如果这个村庄有对数学感兴趣的年轻人，自己就可以教他们，于是开办数学私塾。游历算家对日本江户时代的数学教育与数学普及起了很大的作用。

奉纳算额风俗的兴起还与江户初期的数学著作中的“遗题承继”风气有关。遗题承继是江户初期十分流行且独特的数学文化现象，类似今天的数学问题征解，很多算书都提出自己的问题或是对前人著作中遗题的解答。遗题承继这种形式使和算知识的承传演变成带有竞技性质，推动了和算的普及与发展。随著和算于18世纪中后期的普及化，算额奉纳的风气渐盛并于19世纪达到高峰；但到了明治维新时代则逐渐式微。这主要是因为当时日本的教育体系决定采用西方数学作为学习的内容，于是和算走进历史且奉献的算额数量也逐年锐减。然而，部分地区仍维持这项传统直到20世纪初期。

现代

21世纪，各个日本地方都重新审视了算额的价值，而且仍有部分寺社接受算额奉纳，而奉纳算额的人亦有所增加。虽然这并非直接继承和算的传统的方式，但亦有人声称这是一种表达日本人表达对算术之热爱的文化现象。而现代日本数学史研究者在研究算额时经常发现算额中很多问题，其本质就是后来西方数学家所发现的几何定理。例如，悬挂于福井县鲭江市舟津神社的算额的几何问题，其本质是笛卡儿定理和六球连锁定理。

和算研究会

因为和算是属于民间学术性质，和算的研究和教学又都在私塾或者寺社内进行，所以和算史料记载就变得纷繁杂乱。因此，日本民间就成立了十分多的组织来进行各个地区和算史料的调查工作，其中就包括调查分布于各地寺社的算额。

日本中学教育

有日本的中学数学教师在教学时，尝试在平面几何的教学中融入算额文本——在教授完几何图形的基本性质和定理的证明之后，于相关例题的应用上提供算额的题目，让学生以上课所学习到的平面几何算法求解。有研究认为，当教师使用算额这类历史材料进行教学时，可能令学生了解日本数学发展历程并关心日本数学史，从而对所学内容有更深的理解，理解数学在社会发展所起到的作用，有助于在人文研究中养成科学素养。

同时，部分中学数学教师在数学教学中有计划地组织学生到当地的寺社中探寻遗存的算额进行解读，也有教师指导自己的学生去制作新的算额到寺社奉纳。有研究认为这类活动，又会产生一些特殊的教学成效：

• 通过学生自己制作算额，使得学生能够拥有独立发现问题、提出问题的意识和能力；
• 通过学生设想问题，使得学生将自己发现的一些数学性质和关系通过分析、再加以组织，熟练掌握许多数学知识和思考方法，从而进行知识与思考方法的整合非常有用；
• 通过学生设想问题，也可以培养学生具有关心事物、主动地处理它们的意欲和态度；
• 通过走访各地寺社、探寻寺社的算额来进行数学学习以及实践活动，使得学生学会如何构造数学问题，有助于培养学生的数学思维。

从综合学习方面上，制作算额，除数学学习与实践活动外，还有助于其他学科的学习：

1. 语文课：学习古文，认识一些古字；
2. 手工技术课：学习一些简单的木工技术，获得一些手工制作的技能；
3. 美术课：掌握一些绘画技能和色彩、颜料方面的知识，书法方面也得到练习；
4. 社会课：了解日本江户时代的历史文化，特别是了解当地的乡土历史文化，而实地去寺社奉纳算额也是一种社会实践活动。

算额的价值

由于算额的历史价值，部分算额被列为文化财。其所拥有的不单单是和算传播的载具，还能通过其来一窥那个时代的民间活动，而且算额还有很高的艺术价值。

被列为文化财的算额

主条目：被列为文化财的算额列表

• 
  金王八幡宫（东京都涩谷区）的算额，于元治元年（1864年）被奉纳。
• 
  金王八幡宫（东京都涩谷区）的算额，于安政6年（1859年）奉纳。

神社或寺庙名	地点	历史年份	奉纳者			等级 （认证单位）	附注	来源
			派系	老师	作者
八坂神社	京都府京都市 东山区	元禄四年 （1691年）			长谷川邻完	重要文化财 （国家）
金王八幡宫	东京都涩谷区 涩谷	嘉永三年 （1850年）		水埜与七郎正衜	海老泽总右卫门正泰	有形民俗文化财 （涩谷区）
金王八幡宫	东京都涩谷区 涩谷	安政六年 （1859年）	西条藩	御粥安本	山本庸三郎贵隆	有形民俗文化财 （涩谷区）
金王八幡宫	东京都涩谷区 涩谷	元治元年 （1864年）		水野与七郎	野口冨太郎源贞则	有形民俗文化财 （涩谷区）	十分罕见的扇形算额
正观寺	埼玉县本庄市 都岛	享保十一年 （1726年）			户冢盛政	市指定文化财 （本庄市）	县内现存最古老算额
冰川神社	埼玉县川越市 久下户	文化八年 （1811年）			奥贯五平次正定他	市指定文化财 （川越市）
八幡宫	群马县高崎市	文化七年 （1810年）	关流	小野荣重	其学生	重要文化财 （群马县）
八幡宫	群马县高崎市	安政七年 （1860年）	关流	中曾根真吾	其学生	重要文化财 （群马县）
榛名神社	群马县高崎市 榛名山町	文化八年 （1814年）	关流	石田玄圭一德	其学生	重要文化财 （群马县）
冠稻荷神社	群马县太田市 细谷町	文化九年 （1812年）	关流		金井良之	重要文化财 （群马县）
冠稻荷神社	群马县太田市 细谷町	文化十一年 （1814年）	最上流	大川荣信	大川直信 及另外2名同门	重要文化财 （群马县）
樱井神社	爱知县安城市 樱井町	宽政元年 （1789年）		藤田定资	松崎右卫门行乘	有形民俗文化财 （爱知县）
樱井神社	爱知县安城市 樱井町	文化二年 （1805）			长谷部宇兵卫延之	有形民俗文化财 （爱知县）
樱井神社	爱知县安城市 樱井町	享和四年 （1804年）		斋藤氏	清水幸三郎林直	有形民俗文化财 （爱知县）
大盐八幡宫	福井县越前市 国兼町	元禄十四年 （1701年）			蜂屋氏赖哉	有形民俗文化财 （福井县）
弘仁寺	奈良县奈良市 虚空藏町	文政十年 （1827年）			奥田政八	有形民俗文化财 （奈良市）
弘仁寺	奈良县奈良市 虚空藏町	安政五年 （1858年）			石田算楽轩	有形民俗文化财 （奈良市）
圆满寺	奈良县奈良市 下山町	天保十五年 （1844年）			源治郎	有形民俗文化财 （奈良市）
伊佐尔波神社	爱媛县松山市 樱谷町	享和三年 （1803年）		丸山良玄	大西佐兵卫义全	有形民俗文化财 （爱媛县）	大西佐兵卫义全奉纳的算额是该神社收到的第22枚，也是最新的一枚。
太山寺	爱媛县松山市 太山寺町	嘉永五年 （1852年）		山崎喜(右卫门)昌龙	花山金次郎 (代奉：茶屋何某)	有形民俗文化财 （松山市）
三岛神社	爱媛县松山市 松山市吉藤1丁目	明治十三年 （1880年）			松冈多三郎	有形民俗文化财 （松山市）
龙泉寺	福岛县二本松市 二伊泷	宽政十二年 （1800年）			高田要五郎一正	有形文化财 （二本松市）
饭沼香取神社	埼玉县春日部市 饭沼	弘化二年 （1845年）			中田善次郎政邦	有形文化财 （春日部市）
舟津神社	福井县鲭江市 舟津町	安政二年 （1855）			竹内重规	有形民俗文化财 （鲭江市）	县内唯一的测量算额

有关算额的衍生物

食物

• 香川县的金刀比罗宫参拜道上有一间“算额茶屋”。
• 奈良县的TABAYA菓子店（たばや菓子舗）有贩卖一种算额甜点——“算额最中”；其是一种以糯米饼皮包裹红豆内馅的甜点，而饼壳上是一道算额题目。

书籍

• 冲方丁. 天地明察. 东京: 角川书店. 平成21年（2009年） [1977] [2019-02-10]. ISBN 9784048740135. OCLC 475671823. （原始内容存档于2020-06-09）.  引文格式1维护：日期与年 (link)（此书亦有漫画及电影版）
• 远藤, 宽子. 算法少女. 筑摩书房. 2006年08月. ISBN 4480090134. OCLC 169992835.  （此书有漫画和动画电影版）
• 永井, 义男. 算学奇人伝 : 長編時代小說. 祥伝社 TBSブリタニカ. 1997年04月. ISBN 4396327935. OCLC 675031495. 
• 金森, 敦子. 算士とその妻. 瞽女んぼが死んだ. 角川书店. 1990年05月. ISBN 4048725777. OCLC 674588060.  （一个关于人们悄悄地挂出算额，来默默地支持和算发展的故事。）
• 小野寺, 公二. 算学武士道. 文芸春秋. 1989. ISBN 4163107703. OCLC 674717026. （在深陷贫穷、不可自救的生活中，主人公沈浸在数学的海洋里，心中只有想著能自己的算额挂到寺社中去；而其灵魂犹如武士将自己的生命压在剑上一样。）
• 风狸けん. 和の卷. 和算に恋した少女. 脚本：中川真. 小学馆ビッグコミック. 2013年2月4日. ISBN 9784091848680. OCLC 1002808125.  引文格式1维护：日期与年 (link)
• 金重明. 算学武芸帳. 朝日新闻出版. 2010-12. ISBN 9784022645869 （日语）. 

动画

• タイムスクープハンター「“算額”頭脳バトル」之话（NHK：2010年4月19日播放）
• 算法少女（动画电影，于2016年完成）

其他条目

• 和算
• 绘马
• 算法少女
• 天地明察
• 鹤龟算
• 阿波罗尼奥斯问题

拓展阅读

期刊

• Vincent, Jill; Vincent, Claire. Japanese Temple Geometry (PDF). Australian Senior Mathematics Journal. 2004, 18 (1): 8-20 [2020-08-07]. （原始内容存档 (PDF)于2018-12-31）. 
• Swetz, Frank J. Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry. Washington, DC. 2008-09-12. 
• Hosking, Rosalie Joan. Solving Sangaku: A Traditional Solution to Nineteenth Century Japanese Temple Problem (PDF). Journal for History of Mathematics. 2017, 30 (2): 53–69 [2020-08-07]. ISSN 1226-931X. doi:10.14477/jhm.2017.30.2.053. （原始内容存档 (PDF)于2022-07-18）. 
• Sokolowsky, Dan; Fukagawa, Hidetosi; Pedoe, Dan. Japanese Temple Geometry Problems. The American Mathematical Monthly. 1991, 98 (4): 381. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2323823. 
• Majewski, Miroslaw; Chuan, Jen-Chung; Nishizawa, Hitoshi. The New Temple Geometry Problems in Hirotaka's Ebisui Files (PDF). [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-06-21）. 

书籍

• Hidetosi, Fukagawa. Sacred mathematics: Japanese temple geometry. Princeton University Press. 2008. ISBN 0-691-12745-X. OCLC 260111551. 

外部链接

和算の馆 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 电子出版“岩手の算额” （页面存档备份，存于互联网档案馆） 西三河“樱井神社の算额” 野田市文化财“金乘院の算额” （页面存档备份，存于互联网档案馆） 松山の文化财“太山寺算额” （页面存档备份，存于互联网档案馆） 二本松市の文化财“龙泉寺観音堂の算额” “算额に挑戦”冈山大学教育学部附属中学校

栃木县佐野市“星宫神社” “川越の算额・和算” “和算の先生”东海道の昔の话 木岛平村の文化财（村宝） （页面存档备份，存于互联网档案馆） “伊佐尔波神社” 东北大学和算ポータル