高階範疇

數學中，高階範疇是範疇論在高階下的情形，一些等式可寫成箭頭，以便能明確地研究等式背後的結構。高階範疇論常應用於代數拓撲學（特別是同倫論），用於研究拓撲空間的代數不變量，如其基本弱准範疇。

嚴格高階範疇

一個平凡範疇擁有物件與態射兩類組分，在高階範疇論背景下，這些對象統稱為1-態射。2-範疇在1-態射間加入了2-態射，這樣往復下去，直到範疇包含(n-1)-態射與其間的n-態射，便得到了n範疇。

以記為Cat的範疇為例，其是包含所有小範疇和函子的範疇，實際上是個以自然變換為2-態射的2-範疇。同理，包含所有（小）n-範疇的n-Cat實際上是(n+1)-範疇。

n-範疇的定義通過對n的歸納來實現：

0-範疇是集合，
(n+1)-範疇是n-Cat的增廣。

所以，1-範疇只是局部小範疇（locally small category）。

Set的幺半範疇結構以笛卡兒積為張量，以單元素為單元。事實上任何具有有限積的範疇都可賦予幺半結構。n-Cat的遞歸構造很好用，因為如果一個範疇 $C$ 具有有限積，則增廣 $C$ 範疇也具有有限積。

雖然這個概念對同倫論等的某些目的來說過於嚴格，因為在同倫論中，「弱」結構以更高範疇的形式展現，^[1]但也出現了嚴格立方高階同倫廣群，其在同調和同倫的邊界上為代數拓撲提供了新的基礎，參見下面書中提到的非阿貝爾代數拓撲這篇文章。

弱高階範疇

在弱n-範疇中，結合性和同一性的條件不再嚴格（即不再由等價性得出），而是在下一層的同構之前得到滿足。拓撲學中的一個例子是道路的構成，其中的同一性和結合性只在重參數化時成立，因此也只在同倫時成立，這就是這個2-範疇的2-同構。這些n-同構必須在態射集間有很好的表現，弱n-範疇在表達這一點上存在困難。弱2-範疇也稱作雙範疇，是第一個有明確定義的。它們的一個特殊性是，只有一個物件的雙範疇其實就是幺半範疇，所以雙範疇也可以說是「有許多物件的幺半範疇」。弱3-範疇也稱作三範疇，再往上泛化，定義會越來越難明確。高階範疇互相等價的條件與意義，已經成為範疇論中新的研究對象。

准範疇

准範疇是滿足弱Kan條件的單純集合。André Joyal指出它們是高階範疇論的良好基礎。2009年，該理論得到了雅各·盧里的進一步系統化，他簡單將它們統稱為無窮範疇，儘管後者也是對任何k的 $(\infty ,\ k)-$ 範疇的所有模型的一個通用術語。

簡單增廣範疇

簡單增廣範疇，或稱簡單範疇，是在簡單集合上增廣得到的範疇。但如果看成是 $(\infty ,\ 1)-$ 範疇，那麼許多範疇相關的概念（如極限 (範疇論)）便與增廣範疇的相應概念不一致。對其他增廣模型，如拓撲增廣範疇來說也是如此。

拓撲增廣範疇

拓撲增廣範疇，或稱拓撲範疇，是在拓撲空間的一些小範疇上增廣來的範疇，如緊生成豪斯多夫空間。

西格爾範疇

這是由Hirschowitz和Simpson在1998年引入的高階範疇模型，^[2]部分是受Graeme Segal於1974年的結果啟發。

另見

注釋

^ Baez & Dolan 1998，第6頁
^ Hirschowitz, André; Simpson, Carlos. Descente pour les n-champs (Descent for n-stacks). 2001. arXiv:math/9807049 .

參考文獻

Baez, John C.; Dolan, James. Categorification. 1998. arXiv:math/9802029 .
Leinster, Tom. Higher Operads, Higher Categories. Cambridge University Press. 2004. ISBN 0-521-53215-9. arXiv:math.CT/0305049 .
Simpson, Carlos. Homotopy theory of higher categories. 2010. arXiv:1001.4071  [math.CT]. Draft of a book. Alternative PDF with hyperlinks （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)

Lurie, Jacob. Higher Topos Theory. Princeton University Press. 2009. ISBN 978-0-691-14048-3. arXiv:math.CT/0608040 . As PDF （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
nLab, the collective and open wiki notebook project on higher category theory and applications in physics, mathematics and philosophy
Joyal's Catlab （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, a wiki dedicated to polished expositions of categorical and higher categorical mathematics with proofs
Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael. Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. Tracts in Mathematics 15. European Mathematical Society. 2011. ISBN 978-3-03719-083-8.

外部連結

Baez, John. Week 73: Tale of n-Categories. 1996-02-24 [2023-05-28]. （原始內容存檔於2023-06-04）.
The n-Category Cafe （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） — a group blog devoted to higher category theory.
Leinster, Tom. A Perspective on Higher Category Theory. 8 March 2010 [2023-05-28]. （原始內容存檔於2023-10-19）.

[1] Baez & Dolan 1998，第6頁

[2] Hirschowitz, André; Simpson, Carlos. Descente pour les n-champs (Descent for n-stacks). 2001. arXiv:math/9807049 .

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