同胚

著有《一般拓撲學》一書的數學家約翰·L·凱利曾說：拓撲學家為不知甜甜圈與咖啡杯之分別者。

在拓撲學中，同胚（英語：Homeomorphism）是兩個拓撲空間之間的雙連續函數。同胚是拓撲空間範疇中的同構；也就是說，它們是保持給定空間的所有拓撲性質的映射。如果兩個空間之間存在同胚，那麼這兩個空間就稱為同胚的，從拓撲學的觀點來看，兩個空間是相同的。

拓撲空間是一個幾何物體，同胚就是把物體連續延展和彎曲，使其成為一個新的物體。因此，正方形和圓是同胚的，但球面和環面就不是。有一個笑話是說，拓撲學家不能區分咖啡杯和甜甜圈，這是因為一個足夠柔軟的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形狀（見圖）。

定義

如果兩個拓撲空間{X,T_X}和{Y,T_Y}之間的函數f : X → Y具有下列性質：

• f是雙射（單射和滿射）；
• f是連續的；
• 反函數f⁻¹也是連續的（f是開映射）。

則稱{X,T_X}和{Y,T_Y}同胚，它滿足以上三個性質的函數有時稱為雙連續。自同胚就是從一個拓撲空間到它本身的同胚。同胚形成了所有拓撲空間的類上的等價關係。所得到的等價類稱為同胚類。

例子

三葉結與圓環同胚。雖然這表面上不合理，但是在四維空間中很容易把三葉結連續變形成一個圓。

• R²內的單位圓盤D²和單位正方形是同胚的。

• 開區間(−1, 1)與實直線R同胚。

• 積空間S¹ × S¹與二維環面同胚。

• 每一個一致同構和等距同構都是同胚。

• 任何二維球面去掉一個點都與R²中的所有點所組成的集合（二維平面）同胚。

• 設$A$為一個有單位的交換環，並設$S$為$A$的乘法子集。那麼Spec $(A_{S})$與$\{p\in {\textrm {Spec}}A:p\cap S=\emptyset \}$同胚。

• 當$n\neq m$時，$\mathbb {R} ^{n}$不與$\mathbb {R} ^{m}$同胚。

• 一個連續和雙射但不是同胚的函數的例子，是把半開區間$[0,1)$纏繞到圓上的映射。在這個情況中，逆映射雖然存在，但不是連續的。

性質

• 同胚是拓撲空間範疇中的同構。因此，兩個同胚的複合映射也是同胚，且所有自同胚X → X形成了一個群，稱為X的自同胚群，通常記為Homeo(X)。

• 兩個同胚的空間具有相同的拓撲性質。例如，如果其中一個是緊空間，那麼另外一個也是緊空間；如果其中一個是連通空間，那麼另外一個也是連通空間，等等。然而，這不能推廣到通過度量所定義的性質；如果兩個度量空間是同胚的，那麼仍然有可能其中一個是完備的，而另外一個不是。

• 同胚既是開映射又是閉映射，也就是說，它把開集映射到開集，把閉集映射到閉集。

• 每一個$S^{1}$的自同胚都可以延伸到整個圓盤$D^{2}$的自同胚。

參見

• 局部同胚
• 微分同胚
• 一致同構（一致空間的同構）
• 等距同構（度量空間的同構）
• 同胚 (圖論)（與圖的剖分有密切聯繫）
• 同痕
• 映射類群

外部連結

• Homeomorphism. PlanetMath.