同胚

著有《一般拓扑学》一书的数学家约翰·L·凯利曾说：拓扑学家为不知甜甜圈与咖啡杯之分别者。

在拓扑学中，同胚（英语：Homeomorphism）是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。

拓扑空间是一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。因此，正方形和圆是同胚的，但球面和环面就不是。有一个笑话是说，拓扑学家不能区分咖啡杯和甜甜圈，这是因为一个足够柔软的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形状（见图）。

定义

如果两个拓扑空间{X,T_X}和{Y,T_Y}之间的函数f : X → Y具有下列性质：

• f是双射（单射和满射）；
• f是连续的；
• 反函数f⁻¹也是连续的（f是开映射）。

则称{X,T_X}和{Y,T_Y}同胚，它满足以上三个性质的函数有时称为双连续。自同胚就是从一个拓扑空间到它本身的同胚。同胚形成了所有拓扑空间的类上的等价关系。所得到的等价类称为同胚类。

例子

三叶结与圆环同胚。虽然这表面上不合理，但是在四维空间中很容易把三叶结连续变形成一个圆。

• R²内的单位圆盘D²和单位正方形是同胚的。

• 开区间(−1, 1)与实直线R同胚。

• 积空间S¹ × S¹与二维环面同胚。

• 每一个一致同构和等距同构都是同胚。

• 任何二维球面去掉一个点都与R²中的所有点所组成的集合（二维平面）同胚。

• 设$A$为一个有单位的交换环，并设$S$为$A$的乘法子集。那么Spec $(A_{S})$与$\{p\in {\textrm {Spec}}A:p\cap S=\emptyset \}$同胚。

• 当$n\neq m$时，$\mathbb {R} ^{n}$不与$\mathbb {R} ^{m}$同胚。

• 一个连续和双射但不是同胚的函数的例子，是把半开区间$[0,1)$缠绕到圆上的映射。在这个情况中，逆映射虽然存在，但不是连续的。

性质

• 同胚是拓扑空间范畴中的同构。因此，两个同胚的复合映射也是同胚，且所有自同胚X → X形成了一个群，称为X的自同胚群，通常记为Homeo(X)。

• 两个同胚的空间具有相同的拓扑性质。例如，如果其中一个是紧空间，那么另外一个也是紧空间；如果其中一个是连通空间，那么另外一个也是连通空间，等等。然而，这不能推广到通过度量所定义的性质；如果两个度量空间是同胚的，那么仍然有可能其中一个是完备的，而另外一个不是。

• 同胚既是开映射又是闭映射，也就是说，它把开集映射到开集，把闭集映射到闭集。

• 每一个$S^{1}$的自同胚都可以延伸到整个圆盘$D^{2}$的自同胚。

参见

• 局部同胚
• 微分同胚
• 一致同构（一致空间的同构）
• 等距同构（度量空间的同构）
• 同胚 (图论)（与图的剖分有密切联系）
• 同痕
• 映射类群

外部链接

• Homeomorphism. PlanetMath.