對稱函數環
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代數組合學中,對稱函數環是n趨近於無窮大時,n元對稱多項式環的特定極限。此環是一種通用結構,其中對稱多項式間的關係可用一種與n無關的方式表達(但其元素不是多項式也不是函數)。此環也在對稱群表示論中起着重要作用。
對稱函數環可給出余積和雙線性形式,使其成為正定自伴分次霍普夫代數,其是交換的也是余交換的。
對稱多項式
[編輯]對稱函數研究以對稱多項式為基礎。多項式環中,在變量的某有限集中,若變量的順序不會影響多項式的值,則稱多項式是對稱的。更形式地說,在n元多項式環上有對稱群的環同態作用,其中排列對多項式的作用是根據所用的置換,同時將變量替換成另一個。這作用的不變量構成對稱多項式子環。若變量是,則這種對稱多項式的例子是
稍微複雜一點,
其中求和包含某變量的立方與另兩個變量之積(所有變量)。對稱多項式有很多種,如基本對稱多項式、次方和對稱多項式、單項對稱多項式、完備齊次對稱多項式、舒爾多項式等等。
對稱多項式環
[編輯]對稱多項式之間的關係往往不取決於n,只是關係中的某些多項式可能需要足夠大的n才能定義。例如,多項式立方和的牛頓恆等式導致
其中表示基本對稱多項式。此式對所有自然數n都成立,唯一值得注意的是,時,。可以將其表為方程
其與n無關,且在對稱函數環中成立。環中,對所有整數有非零元,且環中任何元素都可用元素的多項式表達式給出。
定義
[編輯]對稱多項式環可定義在任意交換環R上,可記作。基本情形是。環實際上是分次R-代數,有兩種主要構造,下面給出第一種,可見於(Stanley, 1999),第二種可見於(Macdonald, 1979)。
作為形式冪級數環
[編輯]最簡單(仍有點繁瑣)的構造始於R上的(可數)無窮多元形式冪級數環。此冪級數環的元素形式上是無窮級數,包含R中係數乘以單項式,後者是有限多變量的有限次冪之積。將定義為由滿足以下條件的冪級數S組成的子環:
- S在變量的任何排列下都不變;
- S中單項式次數有界。
注意,由於第二個條件,此處冪級數只是為了允許無窮多一定次數的項,而非所有可能次數的項。允許這樣做是必要的,比方說,包含項的元素為維持對稱性也應包含項。不同於整個冪級數環,子環按單項式的總次數分次:由於條件2,中的所有元素都是中齊次元素的有限和(其本身是等次項的無限和)。對所有,元素被定義為k個不同變量所有積的形式和,這顯然是k次齊次的。
另見
[編輯]參考文獻
[編輯]- Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. ISBN 0-19-853530-9 MR553598
- Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
- Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (hardback) ISBN 0-521-78987-7 (paperback).