对称函数环
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代数组合学中,对称函数环是n趋近于无穷大时,n元对称多项式环的特定极限。此环是一种通用结构,其中对称多项式间的关系可用一种与n无关的方式表达(但其元素不是多项式也不是函数)。此环也在对称群表示论中起着重要作用。
对称函数环可给出余积和双线性形式,使其成为正定自伴分次霍普夫代数,其是交换的也是余交换的。
对称多项式
[编辑]对称函数研究以对称多项式为基础。多项式环中,在变量的某有限集中,若变量的顺序不会影响多项式的值,则称多项式是对称的。更形式地说,在n元多项式环上有对称群的环同态作用,其中排列对多项式的作用是根据所用的置换,同时将变量替换成另一个。这作用的不变量构成对称多项式子环。若变量是,则这种对称多项式的例子是
稍微复杂一点,
其中求和包含某变量的立方与另两个变量之积(所有变量)。对称多项式有很多种,如基本对称多项式、次方和对称多项式、单项对称多项式、完备齐次对称多项式、舒尔多项式等等。
对称多项式环
[编辑]对称多项式之间的关系往往不取决于n,只是关系中的某些多项式可能需要足够大的n才能定义。例如,多项式立方和的牛顿恒等式导致
其中表示基本对称多项式。此式对所有自然数n都成立,唯一值得注意的是,时,。可以将其表为方程
其与n无关,且在对称函数环中成立。环中,对所有整数有非零元,且环中任何元素都可用元素的多项式表达式给出。
定义
[编辑]对称多项式环可定义在任意交换环R上,可记作。基本情形是。环实际上是分次R-代数,有两种主要构造,下面给出第一种,可见于(Stanley, 1999),第二种可见于(Macdonald, 1979)。
作为形式幂级数环
[编辑]最简单(仍有点繁琐)的构造始于R上的(可数)无穷多元形式幂级数环。此幂级数环的元素形式上是无穷级数,包含R中系数乘以单项式,后者是有限多变量的有限次幂之积。将定义为由满足以下条件的幂级数S组成的子环:
- S在变量的任何排列下都不变;
- S中单项式次数有界。
注意,由于第二个条件,此处幂级数只是为了允许无穷多一定次数的项,而非所有可能次数的项。允许这样做是必要的,比方说,包含项的元素为维持对称性也应包含项。不同于整个幂级数环,子环按单项式的总次数分次:由于条件2,中的所有元素都是中齐次元素的有限和(其本身是等次项的无限和)。对所有,元素被定义为k个不同变量所有积的形式和,这显然是k次齐次的。
另见
[编辑]参考文献
[编辑]- Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. ISBN 0-19-853530-9 MR553598
- Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
- Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (hardback) ISBN 0-521-78987-7 (paperback).