福特-富爾克森算法

福特-富爾克森方法（英語：Ford–Fulkerson method），又稱福特-富爾克森算法（Ford–Fulkerson algorithm），是一類計算網絡流的最大流的貪心算法。之所以稱之為「方法」而不是「算法」，是因為它尋找增廣路徑的方式並不是完全確定的，而是有幾種不同時間複雜度的實現方式^[1]^[2]。它在1956年由小萊斯特·倫道夫·福特及德爾伯特·雷·富爾克森^[3]發表。「福特-富爾克森」這個名詞通常也指代埃德蒙茲-卡普算法，這是一個特殊的福特-富爾克森算法實現。

算法的思想如下：只要有一條從源點（開始節點）到匯點（結束節點）的路徑，在路徑的所有邊上都有可用容量，就沿着這條路徑發送一個流，流量由路徑上的最小容量限制。然後再找到另一條路徑，一直到網絡中不存在這種路徑為止。一條有可用容量的路徑被稱為一條增廣路徑。

算法

設 $G(V,E)$ 為一個圖，並且為每條從 $u$ 到 $v$ 的邊 $(u,v)$ 設置一個最大流量 $c(u,v)$ ，並且初始化當前流量 $f(u,v)=0$ 。下面是該算法每一步的實現：

容量限制:	$\forall (u,v)\in E,f(u,v)\leq c(u,v)$	每條邊上的流都不能超出邊的最大流量。
反向對稱:	$\forall (u,v)\in E,f(u,v)=-f(v,u)$	從 $u$ 到 $v$ 的流量一定是從 $v$ 到 $u$ 的流量的相反數（見樣例）。
流量守恆:	$\forall u\in V:u\neq s,u\neq t\Rightarrow \sum _{w\in V}f(u,w)=0$	除非 $u$ 是源點 $s$ 或匯點 $t$ ，一個節點的淨流量為零。
f的值:	$\sum _{(s,u)\in E}f(s,u)=\sum _{(v,t)\in E}f(v,t)$	從源點 $s$ 流出的流量一定等於匯點 $t$ 接收的流量。

這意味着每輪計算之後通過網絡的都是一個流。我們定義殘留網絡 $G_{f}(V,E_{f})$ 是一個網絡的剩餘流量 $c_{f}(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$ 。注意殘留網絡可以設置從 $v$ 到 $u$ 的流量，即使在原先的網絡中不允許這種情況產生：如果 $c(v,u)=0$ 但 $f(u,v)>0$ ，那麼 $c_{f}(v,u)=c(v,u)-f(v,u)=f(u,v)>0$ ：也即，從 $u$ 到 $v$ 的流量給從 $v$ 到 $u$ 的流量提供了額外的剩餘量。

偽代碼

算法福特-富爾克森

輸入給定一張邊的容量為

c

的圖

G=(V,E)

，源點

s

以及匯點

t

。

輸出在網絡

G

中，從

s

到

t

的最大流

f

。

初始化網絡流量 $f\leftarrow 0$ 、殘留網絡 $G_{f}\leftarrow G$ 。對於圖的每一條邊 $(u,v)$ ，初始化流量 $f(u,v)\leftarrow 0$ 。
只要 $G_{f}$ $G_{f}$ 中還存在一條從 $s$ $s$ 到 $t$ $t$ 的路徑 $p$ $p$ ，使對於每一條邊 $(u,v)\in p$ $(u,v)\in p$ ，都有 $c_{f}(u,v)>0$ $c_{f}(u,v)>0$ ：
1. 設置路徑 $p$ 本次應發送的流量為路徑最小剩餘流量： $c_{f}(p)\leftarrow \min _{(u,v)\in p}c_{f}(u,v)$ 。
2. 更新網絡流量 $f\leftarrow f+c_{f}(p)$ 。
3. 對於每一條邊 $(u,v)\in p$ $(u,v)\in p$ ，更新 $G_{f}$ $G_{f}$ 的剩餘流量：
  1. $f(u,v)\leftarrow f(u,v)+c_{f}(p)$ （在路徑中「發送」流）
  2. $f(v,u)\leftarrow f(v,u)-c_{f}(p)$ （這個流在之後可以被「發送」回來）

步驟2中的路徑 $p$ 可以用廣度優先搜索或深度優先搜索在 $G_{f}(V,E_{f})$ 中找到。如果使用了廣度優先搜索，這個算法就是Edmonds–Karp算法。

當步驟2中找不到可行路徑時， $s$ 就無法在殘留網絡中到達 $t$ 。設 $S$ 是在殘留網絡中 $s$ 可以到達的節點的集合，然後從 $S$ 到 $V$ 的其餘部分的網絡一方面等於我們找到的從 $s$ 到 $t$ 的所有流的總流量，另一方面所有這樣的流量組成了一個上限。這說明我們找到的流是最大的。參見最大流最小割定理。

如果圖 $G(V,E)$ 有多個源點和匯點，可以按如下方法處理：設 $T=\{t|t{\text{为目标点 }}\}$ ， $S=\{s|s{\text{为源点 }}\}$ 。添加一個新源點 $s^{*}$ 與所有源點有一條邊 $(s^{*},s)$ 相連，容量 $c(s^{*},s)=d_{s}\;(d_{s}=\sum _{(s,u)\in E}c(s,u))$ 。添加一個新匯點 $t^{*}$ 與所有匯點 $(t,t^{*})$ 有一條邊相連，容量 $c(t,t^{*})=d_{t}\;(d_{t}=\sum _{(v,t)\in E}c(v,t))$ 。然後執行福特-富爾克森算法。

同樣的，如果節點 $u$ 有通過限制 $d_{u}$ ，可將這個節點用兩個節點 $u_{in},u_{out}$ 替換，用一條邊 $(u_{in},u_{out})$ 相連，容量為 $c(u_{in},u_{out})=d_{u}$ 。然後執行福特-富爾克森算法。

複雜度

算法通過添加找到的增廣路徑的流量增加總流量，當無法找到增廣路徑時，總流量就達到了最大。當流量是整數時，福特-富爾克森算法的運行時間為 $O(Ef)$ （參見大O符號）, $E$ 圖中的邊數， $f$ 為最大流。這是因為一條增廣路徑可以在 $O(E)$ 的時間複雜度內找到，每輪算法執行後流量的增長至少為 $1$ 。但是在極端情況下，算法有可能永遠不會停止。

福特-富爾克森算法的一個特例是埃德蒙茲-卡普算法，時間複雜度為 $O(VE^{2})$ 。

樣例

下面的樣例演示了福特-富爾克森在一張有4個節點，源點為 $A$ ，匯點為 $D$ 的圖中的第一輪計算。這個例子顯示了算法在最壞情況下的行為。在每一輪算法中，只有 $1$ 的流量被發送至網絡中。如果算法改用寬度優先搜索，那麼只需要兩輪計算。

路徑	容量	網絡
原流
$A,B,C,D$	${\begin{aligned}&\min(c_{f}(A,B),c_{f}(B,C),c_{f}(C,D))\\=&\min(c(A,B)-f(A,B),c(B,C)-f(B,C),c(C,D)-f(C,D))\\=&\min(1000-0,1-0,1000-0)=1\end{aligned}}$
$A,C,B,D$	${\begin{aligned}&\min(c_{f}(A,C),c_{f}(C,B),c_{f}(B,D))\\=&\min(c(A,C)-f(A,C),c(C,B)-f(C,B),c(B,D)-f(B,D))\\=&\min(1000-0,0-(-1),1000-0)=1\end{aligned}}$
1998輪之後…
最終流

注意當找到路徑 $A,C,B,D$ 時，流是如何從 $C$ 發送至 $B$ 的。

無法終止算法的樣例

右圖所示的網絡中源點為 $s$ ，匯點為 $t$ 邊 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ 的容量為 $1$ , $r=({\sqrt {5}}-1)/2$ 和 $1$ ，使 $r^{2}=1-r$ 。其它所有邊的容量 $M\geq 2$ 。使用福特-富爾克森算法可找到三條增廣路徑，分別為 $p_{1}=\{s,v_{4},v_{3},v_{2},v_{1},t\}$ 、 $p_{2}=\{s,v_{2},v_{3},v_{4},t\}$ 、 $p_{3}=\{s,v_{1},v_{2},v_{3},t\}$ .

步驟	增廣路徑	發送流	剩餘容量
步驟	增廣路徑	發送流	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$
0			$r^{0}=1$	$r$	$1$
1	$\{s,v_{2},v_{3},t\}$	$1$	$r^{0}$	$r^{1}$	$0$
2	$p_{1}$	$r^{1}$	$r^{2}$	$0$	$r^{1}$
3	$p_{2}$	$r^{1}$	$r^{2}$	$r^{1}$	$0$
4	$p_{1}$	$r^{2}$	$0$	$r^{3}$	$r^{2}$
5	$p_{3}$	$r^{2}$	$r^{2}$	$r^{3}$	$0$

注意在步驟1和步驟5之後,邊 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ 的殘留容量都可以表示為 $r^{n}$ 、 $r^{n+1}$ 或 $0$ ，同時，對於一些特殊的 $n\in \mathbb {N}$ 這意味着算法可以通過 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、 $p_{1}$ 與 $p_{3}$ 無限增廣，並且殘留容量總處於一個循環。在步驟5之後網絡的流為 $1+2(r^{1}+r^{2})$ ，如果繼續用以上的算法增廣，總的流將向 $\textstyle 1+2\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=3+2r$ 趨近，但最大流為 $2M+1$ 。在這個樣例中，算法將永遠不會停止，且結果也不會向實際的最大流趨近。^[4]

Python源碼

class Edge(object):
    def __init__(self, u, v, w):
        self.source = u
        self.sink = v  
        self.capacity = w
    def __repr__(self):
        return "%s->%s:%s" % (self.source, self.sink, self.capacity)

class FlowNetwork(object):
    def __init__(self):
        self.adj = {}
        self.flow = {}
 
    def add_vertex(self, vertex):
        self.adj[vertex] = []
 
    def get_edges(self, v):
        return self.adj[v]
 
    def add_edge(self, u, v, w=0):
        if u == v:
            raise ValueError("u == v")
        edge = Edge(u,v,w)
        redge = Edge(v,u,0)
        edge.redge = redge
        redge.redge = edge
        self.adj[u].append(edge)
        self.adj[v].append(redge)
        self.flow[edge] = 0
        self.flow[redge] = 0
 
    def find_path(self, source, sink, path):
        if source == sink:
            return path
        for edge in self.get_edges(source):
            residual = edge.capacity - self.flow[edge]
            if residual > 0 and edge not in path:
                result = self.find_path( edge.sink, sink, path + [edge]) 
                if result != None:
                    return result
 
    def max_flow(self, source, sink):
        path = self.find_path(source, sink, [])
        while path != None:
            residuals = [edge.capacity - self.flow[edge] for edge in path]
            flow = min(residuals)
            for edge in path:
                self.flow[edge] += flow
                self.flow[edge.redge] -= flow
            path = self.find_path(source, sink, [])
        return sum(self.flow[edge] for edge in self.get_edges(source))

使用樣例

>>> g = FlowNetwork()
>>> [g.add_vertex(v) for v in "sopqrt"]
[None, None, None, None, None, None]
>>>
>>> g.add_edge('s','o',3)
>>> g.add_edge('s','p',3)
>>> g.add_edge('o','p',2)
>>> g.add_edge('o','q',3)
>>> g.add_edge('p','r',2)
>>> g.add_edge('r','t',3)
>>> g.add_edge('q','r',4)
>>> g.add_edge('q','t',2)
>>> print (g.max_flow('s','t'))
5

應用

二分圖的最大匹配

最大不相交路徑

參考文獻

^ Laung-Terng Wang, Yao-Wen Chang, Kwang-Ting (Tim) Cheng. Electronic Design Automation: Synthesis, Verification, and Test. Morgan Kaufmann. 2009: 204. ISBN 0080922007.
^ Thomas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press. 2009: 714. ISBN 0262258102.
^ Ford, L. R.; Fulkerson, D. R. Maximal flow through a network. Canadian Journal of Mathematics. 1956, 8: 399. doi:10.4153/CJM-1956-045-5.
^ Zwick, Uri. The smallest networks on which the Ford–Fulkerson maximum flow procedure may fail to terminate. Theoretical Computer Science. 21 August 1995, 148 (1): 165–170. doi:10.1016/0304-3975(95)00022-O.

Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford. Section 26.2: The Ford–Fulkerson method. Introduction to Algorithms Second. MIT Press and McGraw–Hill. 2001: 651–664. ISBN 0-262-03293-7.
George T. Heineman; Gary Pollice; Stanley Selkow. Chapter 8:Network Flow Algorithms. Algorithms in a Nutshell. Oreilly Media. 2008: 226–250. ISBN 978-0-596-51624-6.
Jon Kleinberg; Éva Tardos. Chapter 7:Extensions to the Maximum-Flow Problem. Algorithm Design. Pearson Education. 2006: 378–384. ISBN 0-321-29535-8.

[1] Laung-Terng Wang, Yao-Wen Chang, Kwang-Ting (Tim) Cheng. Electronic Design Automation: Synthesis, Verification, and Test. Morgan Kaufmann. 2009: 204. ISBN 0080922007.

[2] Thomas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press. 2009: 714. ISBN 0262258102.

[3] Ford, L. R.; Fulkerson, D. R. Maximal flow through a network. Canadian Journal of Mathematics. 1956, 8: 399. doi:10.4153/CJM-1956-045-5.

[4] Zwick, Uri. The smallest networks on which the Ford–Fulkerson maximum flow procedure may fail to terminate. Theoretical Computer Science. 21 August 1995, 148 (1): 165–170. doi:10.1016/0304-3975(95)00022-O.

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