福特-富尔克森算法

福特-富尔克森方法（英語：Ford–Fulkerson method），又稱福特-富尔克森算法（Ford–Fulkerson algorithm），是一类计算网络流的最大流的贪心算法。之所以称之为“方法”而不是“算法”，是因为它寻找增广路径的方式并不是完全确定的，而是有几种不同时间复杂度的实现方式^[1]^[2]。它在1956年由小萊斯特·倫道夫·福特及德爾伯特·雷·富爾克森^[3]发表。“福特-富尔克森”这个名词通常也指代埃德蒙兹-卡普算法，这是一个特殊的福特-富尔克森算法实现。

算法的思想如下：只要有一条从源点（开始节点）到汇点（结束节点）的路径，在路径的所有边上都有可用容量，就沿着这条路径发送一个流，流量由路径上的最小容量限制。然后再找到另一条路径，一直到网络中不存在这种路径为止。一条有可用容量的路径被称为一条增广路径。

算法

设 $G(V,E)$ 为一个图，并且为每条从 $u$ 到 $v$ 的边 $(u,v)$ 设置一个最大流量 $c(u,v)$ ，并且初始化当前流量 $f(u,v)=0$ 。下面是该算法每一步的实现：

容量限制:	$\forall (u,v)\in E,f(u,v)\leq c(u,v)$	每条边上的流都不能超出边的最大流量。
反向对称:	$\forall (u,v)\in E,f(u,v)=-f(v,u)$	从 $u$ 到 $v$ 的流量一定是从 $v$ 到 $u$ 的流量的相反数（见样例）。
流量守恒:	$\forall u\in V:u\neq s,u\neq t\Rightarrow \sum _{w\in V}f(u,w)=0$	除非 $u$ 是源点 $s$ 或汇点 $t$ ，一个节点的净流量为零。
f的值:	$\sum _{(s,u)\in E}f(s,u)=\sum _{(v,t)\in E}f(v,t)$	从源点 $s$ 流出的流量一定等于汇点 $t$ 接收的流量。

这意味着每轮计算之后通过网络的都是一个流。我们定义残留网络 $G_{f}(V,E_{f})$ 是一个网络的剩余流量 $c_{f}(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$ 。注意残留网络可以设置从 $v$ 到 $u$ 的流量，即使在原先的网络中不允许这种情况产生：如果 $c(v,u)=0$ 但 $f(u,v)>0$ ，那么 $c_{f}(v,u)=c(v,u)-f(v,u)=f(u,v)>0$ ：也即，从 $u$ 到 $v$ 的流量给从 $v$ 到 $u$ 的流量提供了额外的剩余量。

伪代码

算法福特-富尔克森

输入给定一张边的容量为

c

的图

G=(V,E)

，源点

s

以及汇点

t

。

输出在网络

G

中，从

s

到

t

的最大流

f

。

初始化网络流量 $f\leftarrow 0$ 、残留网络 $G_{f}\leftarrow G$ 。对于图的每一条边 $(u,v)$ ，初始化流量 $f(u,v)\leftarrow 0$ 。
只要 $G_{f}$ $G_{f}$ 中还存在一条从 $s$ $s$ 到 $t$ $t$ 的路径 $p$ $p$ ，使对于每一条边 $(u,v)\in p$ $(u,v)\in p$ ，都有 $c_{f}(u,v)>0$ $c_{f}(u,v)>0$ ：
1. 设置路径 $p$ 本次应发送的流量为路径最小剩余流量： $c_{f}(p)\leftarrow \min _{(u,v)\in p}c_{f}(u,v)$ 。
2. 更新网络流量 $f\leftarrow f+c_{f}(p)$ 。
3. 对于每一条边 $(u,v)\in p$ $(u,v)\in p$ ，更新 $G_{f}$ $G_{f}$ 的剩余流量：
  1. $f(u,v)\leftarrow f(u,v)+c_{f}(p)$ （在路径中“发送”流）
  2. $f(v,u)\leftarrow f(v,u)-c_{f}(p)$ （这个流在之后可以被“发送”回来）

步骤2中的路径 $p$ 可以用广度优先搜索或深度优先搜索在 $G_{f}(V,E_{f})$ 中找到。如果使用了广度优先搜索，这个算法就是Edmonds–Karp算法。

当步骤2中找不到可行路径时， $s$ 就无法在残留网络中到达 $t$ 。设 $S$ 是在残留网络中 $s$ 可以到达的节点的集合，然后从 $S$ 到 $V$ 的其余部分的网络一方面等于我们找到的从 $s$ 到 $t$ 的所有流的总流量，另一方面所有这样的流量组成了一个上限。这说明我们找到的流是最大的。参见最大流最小割定理。

如果图 $G(V,E)$ 有多个源点和汇点，可以按如下方法处理：设 $T=\{t|t{\text{为目标点 }}\}$ ， $S=\{s|s{\text{为源点 }}\}$ 。添加一个新源点 $s^{*}$ 与所有源点有一条边 $(s^{*},s)$ 相连，容量 $c(s^{*},s)=d_{s}\;(d_{s}=\sum _{(s,u)\in E}c(s,u))$ 。添加一个新汇点 $t^{*}$ 与所有汇点 $(t,t^{*})$ 有一条边相连，容量 $c(t,t^{*})=d_{t}\;(d_{t}=\sum _{(v,t)\in E}c(v,t))$ 。然后执行福特-富尔克森算法。

同样的，如果节点 $u$ 有通过限制 $d_{u}$ ，可将这个节点用两个节点 $u_{in},u_{out}$ 替换，用一条边 $(u_{in},u_{out})$ 相连，容量为 $c(u_{in},u_{out})=d_{u}$ 。然后执行福特-富尔克森算法。

复杂度

算法通过添加找到的增广路径的流量增加总流量，当无法找到增广路径时，总流量就达到了最大。当流量是整数时，福特-富尔克森算法的运行时间为 $O(Ef)$ （参见大O符号）, $E$ 图中的边数， $f$ 为最大流。这是因为一条增广路径可以在 $O(E)$ 的时间复杂度内找到，每轮算法执行后流量的增长至少为 $1$ 。但是在极端情况下，算法有可能永远不会停止。

福特-富尔克森算法的一个特例是埃德蒙兹-卡普算法，时间复杂度为 $O(VE^{2})$ 。

样例

下面的样例演示了福特-富尔克森在一张有4个节点，源点为 $A$ ，汇点为 $D$ 的图中的第一轮计算。这个例子显示了算法在最坏情况下的行为。在每一轮算法中，只有 $1$ 的流量被发送至网络中。如果算法改用宽度优先搜索，那么只需要两轮计算。

路径	容量	网络
原流
$A,B,C,D$	${\begin{aligned}&\min(c_{f}(A,B),c_{f}(B,C),c_{f}(C,D))\\=&\min(c(A,B)-f(A,B),c(B,C)-f(B,C),c(C,D)-f(C,D))\\=&\min(1000-0,1-0,1000-0)=1\end{aligned}}$
$A,C,B,D$	${\begin{aligned}&\min(c_{f}(A,C),c_{f}(C,B),c_{f}(B,D))\\=&\min(c(A,C)-f(A,C),c(C,B)-f(C,B),c(B,D)-f(B,D))\\=&\min(1000-0,0-(-1),1000-0)=1\end{aligned}}$
1998轮之后…
最终流

注意当找到路径 $A,C,B,D$ 时，流是如何从 $C$ 发送至 $B$ 的。

无法终止算法的样例

右图所示的网络中源点为 $s$ ，汇点为 $t$ 边 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ 的容量为 $1$ , $r=({\sqrt {5}}-1)/2$ 和 $1$ ，使 $r^{2}=1-r$ 。其它所有边的容量 $M\geq 2$ 。使用福特-富尔克森算法可找到三条增广路径，分别为 $p_{1}=\{s,v_{4},v_{3},v_{2},v_{1},t\}$ 、 $p_{2}=\{s,v_{2},v_{3},v_{4},t\}$ 、 $p_{3}=\{s,v_{1},v_{2},v_{3},t\}$ .

步骤	增广路径	发送流	剩余容量
步骤	增广路径	发送流	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$
0			$r^{0}=1$	$r$	$1$
1	$\{s,v_{2},v_{3},t\}$	$1$	$r^{0}$	$r^{1}$	$0$
2	$p_{1}$	$r^{1}$	$r^{2}$	$0$	$r^{1}$
3	$p_{2}$	$r^{1}$	$r^{2}$	$r^{1}$	$0$
4	$p_{1}$	$r^{2}$	$0$	$r^{3}$	$r^{2}$
5	$p_{3}$	$r^{2}$	$r^{2}$	$r^{3}$	$0$

注意在步骤1和步骤5之后,边 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ 的残留容量都可以表示为 $r^{n}$ 、 $r^{n+1}$ 或 $0$ ，同时，对于一些特殊的 $n\in \mathbb {N}$ 这意味着算法可以通过 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、 $p_{1}$ 与 $p_{3}$ 无限增广，并且残留容量总处于一个循环。在步骤5之后网络的流为 $1+2(r^{1}+r^{2})$ ，如果继续用以上的算法增广，总的流将向 $\textstyle 1+2\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=3+2r$ 趋近，但最大流为 $2M+1$ 。在这个样例中，算法将永远不会停止，且结果也不会向实际的最大流趋近。^[4]

Python源码

class Edge(object):
    def __init__(self, u, v, w):
        self.source = u
        self.sink = v  
        self.capacity = w
    def __repr__(self):
        return "%s->%s:%s" % (self.source, self.sink, self.capacity)

class FlowNetwork(object):
    def __init__(self):
        self.adj = {}
        self.flow = {}
 
    def add_vertex(self, vertex):
        self.adj[vertex] = []
 
    def get_edges(self, v):
        return self.adj[v]
 
    def add_edge(self, u, v, w=0):
        if u == v:
            raise ValueError("u == v")
        edge = Edge(u,v,w)
        redge = Edge(v,u,0)
        edge.redge = redge
        redge.redge = edge
        self.adj[u].append(edge)
        self.adj[v].append(redge)
        self.flow[edge] = 0
        self.flow[redge] = 0
 
    def find_path(self, source, sink, path):
        if source == sink:
            return path
        for edge in self.get_edges(source):
            residual = edge.capacity - self.flow[edge]
            if residual > 0 and edge not in path:
                result = self.find_path( edge.sink, sink, path + [edge]) 
                if result != None:
                    return result
 
    def max_flow(self, source, sink):
        path = self.find_path(source, sink, [])
        while path != None:
            residuals = [edge.capacity - self.flow[edge] for edge in path]
            flow = min(residuals)
            for edge in path:
                self.flow[edge] += flow
                self.flow[edge.redge] -= flow
            path = self.find_path(source, sink, [])
        return sum(self.flow[edge] for edge in self.get_edges(source))

使用样例

>>> g = FlowNetwork()
>>> [g.add_vertex(v) for v in "sopqrt"]
[None, None, None, None, None, None]
>>>
>>> g.add_edge('s','o',3)
>>> g.add_edge('s','p',3)
>>> g.add_edge('o','p',2)
>>> g.add_edge('o','q',3)
>>> g.add_edge('p','r',2)
>>> g.add_edge('r','t',3)
>>> g.add_edge('q','r',4)
>>> g.add_edge('q','t',2)
>>> print (g.max_flow('s','t'))
5

应用

二分图的最大匹配

最大不相交路径

参考文献

^ Laung-Terng Wang, Yao-Wen Chang, Kwang-Ting (Tim) Cheng. Electronic Design Automation: Synthesis, Verification, and Test. Morgan Kaufmann. 2009: 204. ISBN 0080922007.
^ Thomas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press. 2009: 714. ISBN 0262258102.
^ Ford, L. R.; Fulkerson, D. R. Maximal flow through a network. Canadian Journal of Mathematics. 1956, 8: 399. doi:10.4153/CJM-1956-045-5.
^ Zwick, Uri. The smallest networks on which the Ford–Fulkerson maximum flow procedure may fail to terminate. Theoretical Computer Science. 21 August 1995, 148 (1): 165–170. doi:10.1016/0304-3975(95)00022-O.

Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford. Section 26.2: The Ford–Fulkerson method. Introduction to Algorithms Second. MIT Press and McGraw–Hill. 2001: 651–664. ISBN 0-262-03293-7.
George T. Heineman; Gary Pollice; Stanley Selkow. Chapter 8:Network Flow Algorithms. Algorithms in a Nutshell. Oreilly Media. 2008: 226–250. ISBN 978-0-596-51624-6.
Jon Kleinberg; Éva Tardos. Chapter 7:Extensions to the Maximum-Flow Problem. Algorithm Design. Pearson Education. 2006: 378–384. ISBN 0-321-29535-8.

[1] Laung-Terng Wang, Yao-Wen Chang, Kwang-Ting (Tim) Cheng. Electronic Design Automation: Synthesis, Verification, and Test. Morgan Kaufmann. 2009: 204. ISBN 0080922007.

[2] Thomas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press. 2009: 714. ISBN 0262258102.

[3] Ford, L. R.; Fulkerson, D. R. Maximal flow through a network. Canadian Journal of Mathematics. 1956, 8: 399. doi:10.4153/CJM-1956-045-5.

[4] Zwick, Uri. The smallest networks on which the Ford–Fulkerson maximum flow procedure may fail to terminate. Theoretical Computer Science. 21 August 1995, 148 (1): 165–170. doi:10.1016/0304-3975(95)00022-O.

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