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拓撲排序

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電腦科學領域,有向圖的拓撲排序(英語:Topological sorting)或拓撲定序(英語:Topological ordering)是對其頂點的一種線性排序,使得對於從頂點到頂點的每個有向邊在排序中都在之前。

例如,圖形的頂點可以表示要執行的任務,並且邊可以表示一個任務必須在另一個任務之前執行的約束;在這個應用中,拓撲排序只是一個有效的任務順序。

若且唯若圖中沒有定向環時(即有向無環圖),才有可能進行拓撲排序。

任何有向無環圖至少有一個拓撲排序。已知有演算法可以在線性時間內,構建任何有向無環圖的拓撲排序。

圖論中,由一個有向無環圖的頂點組成的序列,若且唯若滿足下列條件時,才能稱為該的一個拓撲排序:

  1. 序列中包含每個頂點,且每個頂點只出現一次;
  2. 若A在序列中排在B的前面,則在圖中不存在從B到A的路徑

演算法

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卡恩演算法

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卡恩於1962年提出了該演算法 [1]。簡單來說,假設L是存放結果的列表,先找到那些入度為零的節點,把這些節點放到L中,因為這些節點沒有任何的父節點。然後把與這些節點相連的邊從圖中去掉,再尋找圖中的入度為零的節點。對於新找到的這些入度為零的節點來說,他們的父節點已經都在L中了,所以也可以放入L。重複上述操作,直到找不到入度為零的節點。如果此時L中的元素個數和節點總數相同,說明排序完成;如果L中的元素個數和節點總數不同,說明原圖中存在環,無法進行拓撲排序。

L ← 包含已排序的元素的列表,目前为空
S ← 入度为零的节点的集合
当 S 非空时:
    将节点n从S移走
    将n加到L尾部
    选出任意起点为n的边e = (n,m),移除e。如m没有其它入边,则将m加入S。
    重复上一步。
如图中有剩余的边则:
    return error   (图中至少有一个环)
否则: 
    return L   (L为图的拓扑排序)


深度優先搜尋

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另一種拓撲排序的方法運用了深度優先搜尋。深度優先搜尋以任意順序迴圈遍歷圖中的每個節點。若搜尋進行中碰到之前已經遇到的節點,或碰到葉節點,則中止演算法。

L ← 一个空的 用来存放已排序的节点的列表
当图中存在未永久标记的节点时:
    选出任何未永久标记的节点n
    visit(n)

function visit(节点 n)
    如n被永久标记:
        return
    如n被临时标记:
        stop   (不是定向无环图,至少有一个环)
  
    将n临时标记
  
    对于每一个以n为起点的边(n,m):
        visit(m)
  
    去掉n的临时标记
    将n永久标记
    在L的起始位置插入n(如L已有内容 后移它们以空出起始位置)

這種拓撲排序的方法被首次公開於Tarjan的著作中[2]

例子

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在某校的選課系統中,存在這樣的規則:每門課可能有若干門先修課,如果要修讀某一門課,則必須要先修讀此課程所要求的先修課後才能修讀。假設一個學生同時只能修讀一門課程,那麼,被選課系統允許的他修完他需要所有課程的順序是一個拓撲序。

在這個例子中,每一門課程對應有向圖中的一個頂點,每一個先修關係對應一條有向邊(從先修課指向需要先修課的課)。

參考資料

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  1. ^ Kahn, Arthur B., Topological sorting of large networks, Communications of the ACM, 1962, 5 (11): 558–562, S2CID 16728233, doi:10.1145/368996.369025可免費查閱 
  2. ^ Tarjan, Robert E., Edge-disjoint spanning trees and depth-first search, Acta Informatica, 1976, 6 (2): 171–185, S2CID 12044793, doi:10.1007/BF00268499 

外部連結

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