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霍奇對偶

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數學中,霍奇星算子Hodge star operator)或霍奇對偶Hodge dual)由蘇格蘭數學家威廉·霍奇Hodge)引入的一個重要的線性映射。它定義在有限維定向內積空間外代數上。

維數與代數

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霍奇星算子在 k-形式空間與 (n -k)-形式空間建立了一個對應。一個 k-形式在這個對應下的像稱為這個 k-形式的霍奇對偶k-形式空間的維數是

後一個空間的維數是

又由二項式係數的對稱性,這兩個維數事實上相等。兩個具有相同維數的形式空間總同構;但不一定有一種自然或典範的方式。但霍奇對偶性利用了向量空間內積和定向,給出了一個特定的同構,因此在代數上這反應了二項式係數的性質。這也在 k-形式空間上誘導了一個內積。「自然」定義意味着這個對偶性關係在理論中可起幾何作用。

第一個有趣的情形是在三維歐幾里得空間 V。在這種情形,帕斯卡三角形相關行是

1, 3, 3, 1

霍奇對偶在兩個三維空間之間建立起一個同構,一個是 V 自己,另一個是 V 中兩個向量的楔積。具體細節參見例子一節。叉積只是三維的特殊性質,但霍奇對偶在所有維數都有效。

擴張

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由於一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構於那個向量空間上的 k-向量空間的對偶,霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣,霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在餘切叢的外代數(即流形上的微分形式)上,可用來從外導數構造余微分codifferential),以及拉普拉斯-德拉姆算子,它導致了黎曼流形上微分形式的霍奇分解

k-向量的霍奇星號的正式定義

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一個定向內積向量空間 V 上的霍奇星算子V外代數)上的一個線性算子,是 k-向量子空間() 與 (n-k)-向量子空間() 之間的線性映射,這裏 。它具有如下性質,這些性質完全定義了霍奇星算子:給定一個定向正交基 我們有

其中 的一個偶排列。

特別是我們有,

星算子的指標記法

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使用指標記法,霍奇對偶由縮並一個 k-形式與 n-維完全反對稱列維-奇維塔張量的指標得到。這不同於列維-奇維塔符號有一個額外因子 (det g)½,這裏 g 是一個內積(如果 g 不是正定的,比如洛倫茲流形的切空間,則取行列式的絕對值)。

從而有

這裏 η 是任意一個反對稱 k 階張量。利用在定義列維-奇維塔張量中同一個內積 g 上升和下降指標。當然也可以對任何張量取星號,所得是反對稱的,因為張量的對稱分量在與完全反對稱列維-奇維塔張量縮並時完全抵消了。

例子

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星算子一個常見例子是在 n = 3,可以做為 3 維向量與斜對稱矩陣之間的對應。這不明顯地使用於向量分析中,例如由兩個向量的楔積產生叉積向量。具體地說,對歐幾里得空間 R3,容易發現

以及

這裏 dx、dy 與 dzR3 上的標準正交微分1-形式。霍奇對偶在此情形顯然對應於三維中的叉積。

n = 4 時,霍奇對偶作用在第二外冪(6 維)上是自同態。它是一個對合,從而可以分解為子對偶與反自對偶子空間,在這兩個子空間上的作用分別為 +1 和 -1。

另一個有用的例子是 n = 4 閔可夫斯基時空,具有度量符號為 (+,-,-,-,) 與坐標 (t,x,y,z),對1-形式

2-形式

k-向量的內積

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霍奇對偶在 k-向量空間上誘導了一個內積,即在 V外代數上。給定兩個 k-向量 ,有

這裏 ω 是正規化的體積形式。可以證明 是一個內積,它是半雙線性的,並定義了一個範數。反之,如果在 上給了一個內積,則這個等式可以做為霍奇對偶的另一種定義[1]

本質上,V 的正交基元素的楔積組成了 V 的外代數的一個正交基。當霍奇星號擴張到流形上,可以證明體積形式能寫做

其中 是流形的度量

對偶性

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當作用兩次時霍奇星號定義了一個對偶,不考慮符號的話,所得結果是外代數上一個恆等式。給定 n-維空間 V 上一個 k-向量 ,我們有

這裏 sV 上內積的符號有關。具體說,s 是內積張量行列式的符號。例如,如果 n = 4 時,若內積的符號是 (+,-,-,-) 或 (-,+,+,+) 則 s = -1。對普通的歐幾里得空間,符號總是正的,所以 s = +1。在普通向量空間,這一般不是一個問題。當霍奇星號擴張到偽-黎曼流形上時,上面的內積理解為對角形式的度量。

流形上的霍奇星號

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在一個 n-維定向黎曼偽黎曼流形上每一點的切空間上可以重複如上構造,將得到 k-形式霍奇對偶,是一個 n- k 形式。霍奇星號在流形上的微分形式上誘導了一個 L2-範數。對 空間截面 ,其內積可寫做

(截面的集合通常記做 ;裏面的元素稱為外 k-形式。)

更一般地,在非定向情形,我們可以定義 k-形式的霍奇星號維一個 (n - k)-偽微分形式;即取值於典範線叢的一個微分形式。

餘微分

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霍奇星號在流形上最重要的應用是用來定義餘微分 δ。令

這裏 d外導數。對黎曼流形 s = +1 。

相比於外導數,餘微分不是外代數上的反導子

餘微分在是外微分的伴隨

這個恆等式是因為體積形式 ω 滿足 dω = 0,從而

拉普拉斯–德拉姆算子由

給出,是霍奇理論的核心。它有對稱性:

以及非負:

霍奇星號將一個調和形式變成調和形式。作為霍奇定理的一個推論,德拉姆上同調自然同構於調和 k-形式空間,從而霍奇星號誘導了上同調群之間一個同構

通過龐加萊對偶性,這給出了 Hk(M) 與它的對偶空間的一個典範等價。

三維中的導數

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算子與外導數 的組合推廣了三維經典算子 gradcurldiv。具體做法如下: 將一個 0-形式(函數)變成 1-形式,1-形式變成 2-形式,2-形式變成 3-形式(應用到 3-形式變成零)。

1. 對一個 0-形式(),第一種情形,寫成分量與 算子等價:

2. 第二種情形後面跟着 ,是 1-形式()上一個算子,其分量是 算子:

使用霍奇星號給出:

3. 最後一種情形,前面與後面都有一個 ,將一個 1-形式()變成 0-形式(函數);寫成分量是 算子:

這些表達式的一個好處是恆等式 ,任何情形都成立,將

統一起來了。特別地,麥克斯韋方程組用外導數與霍奇星號表示時,有一個特別簡單和優美的形式:

這裏 是四維洛倫茲時空中某個 2-形式, 是電流 3-形式。

註釋

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  1. ^ Darling, R. W. R. Differential forms and connections. Cambridge University Press. 1994. 

參考文獻

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  • Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)
  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
  • David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7. (Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0).