霍奇對偶

數學中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇對偶（Hodge dual）由蘇格蘭數學家威廉·霍奇（Hodge）引入的一個重要的線性映射。它定義在有限維定向內積空間的外代數上。

維數與代數

霍奇星算子在 k-形式空間與 (n -k)-形式空間建立了一個對應。一個 k-形式在這個對應下的像稱為這個 k-形式的霍奇對偶。k-形式空間的維數是

${n \choose k},\,$

後一個空間的維數是

${n \choose n-k},\,$

又由二項式係數的對稱性，這兩個維數事實上相等。兩個具有相同維數的形式空間總同構；但不一定有一種自然或典範的方式。但霍奇對偶性利用了向量空間內積和定向，給出了一個特定的同構，因此在代數上這反應了二項式係數的性質。這也在 k-形式空間上誘導了一個內積。「自然」定義意味著這個對偶性關係在理論中可起幾何作用。

第一個有趣的情形是在三維歐幾里得空間 V。在這種情形，帕斯卡三角形相關行是

1, 3, 3, 1

霍奇對偶在兩個三維空間之間建立起一個同構，一個是 V 自己，另一個是 V 中兩個向量的楔積。具體細節參見例子一節。叉積只是三維的特殊性質，但霍奇對偶在所有維數都有效。

擴張

由於一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構於那個向量空間上的 k-向量空間的對偶，霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣，霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在餘切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從外導數構造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它導致了緊黎曼流形上微分形式的霍奇分解。

k-向量的霍奇星號的正式定義

一個定向內積向量空間 V 上的霍奇星算子是 V 的外代數（$\Lambda (V)$）上的一個線性算子，是 k-向量子空間（$\Lambda ^{k}(V)$） 與 (n-k)-向量子空間（$\Lambda ^{n-k}(V)$） 之間的線性映射，這裡 $0\leq k\leq n,\,n=\dim V$。它具有如下性質，這些性質完全定義了霍奇星算子：給定一個定向正交基 $e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}$ 我們有

$\star (e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}})=e_{i_{k+1}}\wedge e_{i_{k+2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{n}},$

其中 $(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{n})$ 是 $(1,2,\dots ,n)$ 的一個偶排列。

特別是我們有，

$*(e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_{n}.$

星算子的指標記法

使用指標記法，霍奇對偶由縮並一個 k-形式與 n-維完全反對稱列維-奇維塔張量的指標得到。這不同於列維-奇維塔符號有一個額外因子 (det g)^½，這裡 g 是一個內積（如果 g 不是正定的，比如洛倫茲流形的切空間，則取行列式的絕對值）。

從而有

$(*\eta )_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-k}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{j_{1},\ldots ,j_{k}}\,{\sqrt {|\det g|}}\,\epsilon _{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{n-k}},\,$

這裡 η 是任意一個反對稱 k 階張量。利用在定義列維-奇維塔張量中同一個內積 g 上升和下降指標。當然也可以對任何張量取星號，所得是反對稱的，因為張量的對稱分量在與完全反對稱列維-奇維塔張量縮並時完全抵消了。

例子

星算子一個常見例子是在 n = 3，可以做為 3 維向量與斜對稱矩陣之間的對應。這不明顯地使用於向量分析中，例如由兩個向量的楔積產生叉積向量。具體地說，對歐幾里得空間 R³，容易發現

$*\mathrm {d} x=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$

和

$*\mathrm {d} y=\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x$

以及

$*\mathrm {d} z=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

這裡 dx、dy 與 dz 是 R³ 上的標準正交微分1-形式。霍奇對偶在此情形顯然對應於三維中的叉積。

當 n = 4 時，霍奇對偶作用在第二外冪（6 維）上是自同態。它是一個對合，從而可以分解為子對偶與反自對偶子空間，在這兩個子空間上的作用分別為 +1 和 -1。

另一個有用的例子是 n = 4 閔可夫斯基時空，具有度量符號為 (+,-,-,-,) 與坐標 (t,x,y,z)，對1-形式有

$*\,\mathrm {d} t=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$

$*\,\mathrm {d} x=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$

$*\,\mathrm {d} y=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z$

$*\,\mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

對2-形式有

$*\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$

$*\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z$

$*\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

$*\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z$

$*\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y$

$*\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x$

k-向量的內積

霍奇對偶在 k-向量空間上誘導了一個內積，即在 V 的外代數上。給定兩個 k-向量 $\eta$ 與 $\zeta$，有

$\zeta \wedge *\eta =\langle \zeta ,\eta \rangle \;\omega ,\,$

這裡 ω 是正規化的體積形式。可以證明 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 是一個內積，它是半雙線性的，並定義了一個範數。反之，如果在 $\Lambda ^{k}(V)$ 上給了一個內積，則這個等式可以做為霍奇對偶的另一種定義。

本質上，V 的正交基元素的楔積組成了 V 的外代數的一個正交基。當霍奇星號擴張到流形上，可以證明體積形式能寫做

$\omega ={\sqrt {|\det g_{ij}|}}\;dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n},\,$

其中 $g_{ij}$ 是流形的度量。

對偶性

當作用兩次時霍奇星號定義了一個對偶，不考慮符號的話，所得結果是外代數上一個恆等式。給定 n-維空間 V 上一個 k-向量 $\eta \in \Lambda ^{k}(V)$，我們有

$**\eta =(-1)^{k(n-k)}s\;\eta ,\,$

這裡 s 與 V 上內積的符號有關。具體說，s 是內積張量行列式的符號。例如，如果 n = 4 時，若內積的符號是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 則 s = -1。對普通的歐幾里得空間，符號總是正的，所以 s = +1。在普通向量空間，這一般不是一個問題。當霍奇星號擴張到偽-黎曼流形上時，上面的內積理解為對角形式的度量。

流形上的霍奇星號

在一個 n-維定向黎曼或偽黎曼流形上每一點的切空間上可以重複如上構造，將得到 k-形式的霍奇對偶，是一個 n- k 形式。霍奇星號在流形上的微分形式上誘導了一個 L²-範數。對 $\Lambda ^{k}(M)$ 的空間截面 $\eta$ 與 $\zeta$，其內積可寫做

$(\eta ,\zeta )=\int _{M}\eta \wedge *\zeta .\,$

（截面的集合通常記做 $\Omega ^{k}(M)=\Gamma (\Lambda ^{k}(M))$；裡面的元素稱為外 k-形式。）

更一般地，在非定向情形，我們可以定義 k-形式的霍奇星號維一個 (n - k)-偽微分形式；即取值於典範線叢的一個微分形式。

餘微分

霍奇星號在流形上最重要的應用是用來定義餘微分 δ。令

$\delta =(-1)^{nk+n+1}*d*\,$

這裡 d 是外導數。對黎曼流形 s = +1 。

$d:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M),\,$

而

$\delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M).\,$

相比於外導數，餘微分不是外代數上的反導子。

餘微分在是外微分的伴隨：

$\langle \delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,d\eta \rangle .\,$

這個恆等式是因為體積形式 ω 滿足 dω = 0，從而

$\int _{M}d(\zeta \wedge *\eta )=0.\,$

拉普拉斯–德拉姆算子由

$\Delta =\delta d+d\delta$

給出，是霍奇理論的核心。它有對稱性：

$\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle ,\,$

以及非負：

$\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \geq 0.\,$

霍奇星號將一個調和形式變成調和形式。作為霍奇定理的一個推論，德拉姆上同調自然同構於調和 k-形式空間，從而霍奇星號誘導了上同調群之間一個同構

$\star :H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),\,$

通過龐加萊對偶性，這給出了 H^k(M) 與它的對偶空間的一個典範等價。

三維中的導數

$\ast$ 算子與外導數 $d$ 的組合推廣了三維經典算子 grad、curl 和 div。具體做法如下：$d$ 將一個 0-形式（函數）變成 1-形式，1-形式變成 2-形式，2-形式變成 3-形式（應用到 3-形式變成零）。

1. 對一個 0-形式（$\omega =f(x,y,z)$），第一種情形，寫成分量與 $\operatorname {grad}$ 算子等價：

$d\omega ={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz.$

2. 第二種情形後面跟著 $\ast$，是 1-形式（$\omega =Adx+Bdy+Cdz$）上一個算子，其分量是 $\operatorname {curl}$ 算子：

$d\omega =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)dy\wedge dz+\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)dx\wedge dy.$

使用霍奇星號給出：

$\ast d\omega =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)dz.$

3. 最後一種情形，前面與後面都有一個 $\ast$，將一個 1-形式（$\omega =Adx+Bdy+Cdz$）變成 0-形式（函數）；寫成分量是 $\operatorname {div}$ 算子：

$\ast \omega =Ady\wedge dz-Bdx\wedge dz+Cdx\wedge dy$

$d\ast \omega =\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz$

$\ast d\ast \omega ={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}.$

這些表達式的一個好處是恆等式 $d^{2}=0$，任何情形都成立，將

$\operatorname {curl} (\operatorname {grad} (f))=\operatorname {div} (\operatorname {curl} (\mathbf {F} ))=0$

統一起來了。特別地，麥克斯韋方程組用外導數與霍奇星號表示時，有一個特別簡單和優美的形式：

$\mathrm {d} \mathbf {F} =0,\qquad *\mathrm {d} *{\mathbf {F} }=\mathbf {J} .$

這裡 $\mathbf {F}$ 是四維洛倫茲時空中某個 2-形式，$\mathbf {J}$ 是電流 3-形式。

參考文獻

• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7. (Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0).