实函数

实函数（Real function），指定义域和值域均为实数集的子集的函数。实函数的特性之一是可以在坐标平面上画出图形。

定义

一个实函数 $f$ 是一个把实数（一般以 $x$ 表示）映射到另一实数（函数的值，一般以 $f (x)$ 表示）的函数。换句话说，实函数是一个函数 $f:X\to \mathbb {R}$ ，当中 $X$ 是 $\mathbb {R}$ 一个包含至少一个开集的子集（可以等于 $\mathbb {R}$ ）。

定义于所有非负实数的平方根函数便是一个例子： $f:X\to \mathbb {R}$ ，当中 $X=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}$ 是所有非负实数的集合及对所有 $x\in X$ ， $f(x)={\sqrt {x}}$ 。

定义域

一个实函数的定义域未必总是明确写出。对任一定义域为 $X$ 的实函数 $f$ 和任一 $X$ 的子集 $Y$ ，可定义 $f$ 对 $Y$ 的限制函数 $f | Y$ 。其定义域为 $Y$ 而对所有 $Y$ 的元素，函数的取值维持不变。若 $Y$ 是 $X$ 的真子集，这两个函数理论上并不相同，但往往可将两者视为等同。

相反，有时函数的定义域可透过解析延拓或利用函数的连续性扩大。由此可见，明确指出实函数的未必有明显价值。

像与值域

函数 $f$ 的值域是指当 $x$ 可取定义域内任何值时， $f (x)$ 所有可能取值的集合。若 $f$ 是连续实函数而其定义域是一个区间，那么它的值域也会是一个区间（除非 $f$ 是常数函数，此时其值域将是一点）。

对任何实数 $y$ ，方程式 $y = f (x)$ 所有实数解的集合称为 $y$ 的原像。

代数结构

实函数之间的运算可如下定义：

对任意实数 $r$ 及实函数 $f$ ，可定义两者的积 $rf:x\mapsto rf(x)$ 。若 $r$ 不等于 0，则此函数的定义域与 $f$ 相同。
对任何两个实函数 $f$ 和 $g$ ，可定义两者的和 $f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ 及积 $fg:x\mapsto f(x)g(x)$ 。两者的定义域均为 $f$ 和 $g$ 的定义域的交集。