閔考斯基時空

閔考斯基時空（Minkowski spacetime）又稱閔考斯基空間（Minkowski space），在數學物理學中是指由三維歐幾里德空間與時間組成的四維流形，其中任意兩個事件之間的時空間隔與所依照的慣性系無關。儘管赫爾曼·閔考斯基一開始是為了電磁理論的馬克士威方程組而發展這一理論，但閔考斯基時空的結構卻可以從狹義相對論的公設直接推出。^[1]

閔考斯基空間與阿爾伯特·愛因斯坦的狹義相對論緊密相關，並且是狹義相對論最為常用的數學表述結構。歐幾里德空間的單個分量以及時間可能會因為長度收縮以及時間膨脹等效應而發生變化，在閔考斯基空間中，不同參考系中兩個事件間的時空總距離則都是一致的。^{[nb 1]}不過由於時間維度與三個空間維度的處理方式仍存在不同之處，閔考斯基空間與四維歐幾里德空間仍是不同的。

在三維歐幾里德空間（比如伽利略相對性原理中的空間）中，歐幾里德群（英語：Euclidean group）是其中的等距群（即可以保證正則歐幾里德距離不變的映射）。它是由旋轉、反射以及平移生成的。當將時間作為第四個維度考慮在內時，時間的平移以及伽利略遞升（英語：Galilean boost）就需要考慮在內。由上述提及的變換所構成的群稱作伽利略群。所有的伽利略變換保證三維歐幾里德距離不變。這個距離只是空間上的距離。時間則獨立於空間，同時保持不變。在狹義相對論中，空間和時間則會互相影響。

閔考斯基空間對於時空的表述是藉助不定非退化雙線性形式完成的。這一形式在下文中會依據語境不同被叫作「閔考斯基度規」、^[2]「閔考斯基範數平方」或是「閔考斯基內積」^{[nb 2]}閔考斯基內積是在兩個事件的座標差向量作為自變量時對時空間隔定義的。^[3]在引入這種內積後，時空的數學模型就被叫作閔考斯基空間。對應於伽利略群，閔考斯基時空中保證時空間隔不變的變換群叫作「龐加萊群」。

總體而言，伽利略時空與閔考斯基時空在被看作流形時是完全相同的。他們之所以不同是因為定義於其上的結構是不同的。前者有的是歐幾里德距離，獨立於空間的時間以及由伽利略變換相互關聯的慣性系，而後者有的是閔考斯基度規和由勞侖茲變換相互關聯的慣性系。

歷史

四維歐幾里德時空

亨利·龐加萊在1905年至1906年間發現當將時間作為一個虛座標 $ict$ （其中 $c$ 為光速， $i$ 是虛數單位）並與三個表示空間的實座標共同組成四維時空時，勞侖茲變換就可以看作是這一時空中的座標旋轉。^[4]狹義相對論可以保證這個量：

-t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}

在兩個慣性系間的座標變換，也就是勞侖茲變換，前後保持不變。

註：此處及以下公式使用了幾何單位制，即令c=1的單位制，所以在這種單位制下t和x,y,z因次相同。

這裡對於光速 $c$ 依照龐加萊的做法做了歸一處理。在由他提出的空間中，座標空間是通過 $(t, x, y, z) \mapsto (x, y, z, it)$ 構造的。勞侖茲變換在座標空間中作為普通的旋轉變換保證

x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}

不變。後一種表述可以讓前面的表述更為容易理解^{[nb 3]}，但兩式中 $t$ 所表示的意義不同（前者表示的慣性系中測得的原時間本身，後者表示的時間座標）也可能會造成混淆。

無論是在座標空間還是在實際的時空中，在由兩個空間單位向量確定的平面中的旋轉就是通常意義上的旋轉。不過當那個平面是由一個時間單位向量以及一個空間單位向量確定的時候，其中的「旋轉」稱作勞侖茲遞升（英語：Lorentz boost），與歐幾里德旋轉就不那麼相似了。

赫爾曼·閔考斯基基於這一構想在四維空間中重新闡釋了馬克士威方程組，並展示了其在勞侖茲變換前後的不變性。^[5]他又進一步在四維空間中重新表述了愛因斯坦的狹義相對論，由此總結出時間與空間應該做相同的處理，並提出了事件是在一個統一的四維時空連續統中發生的概念。

閔考斯基空間

1908年，在有關「空間與時間」的講座中，閔考斯基又利用另一種方式來闡釋這種四維時空。^[6]他將虛的時間座標替換為實的時間座標，並利用一個四維實向量空間來表述時空的四個自變量 $(x, y, z, t)$ 。這個空間中的點與時空中的事件一一對應。在這個時空中還有一個特別的光錐。空間中不在光錐上的點可以依據它們與光錐的關係劃分為「類空」或「類時」。這與現今對時空的認知基本一致。不過那種將時間作為虛座標的做法由於某些原因仍在狹義相對論以及量子場論有所應用。將時間作為實座標的閔考斯基空間與將時間作為虛座標的四維歐幾里德空間之間的轉換叫作威克轉動。^{[nb 4]}

在閔考斯基的論文中，下面定義的閔考斯基度規叫作「線元素」，涉及特定向量正交性（他本人叫作「正規性」）的閔考斯基內積沒有被命名，而閔考斯基範數平方則叫作「和」。

閔考斯基圖是閔考斯基使用的一項重要的工具。他利用這一工具來定義概念並展示了勞侖茲變換的一些性質（比如原時間和長度收縮），並提供了牛頓力學推廣到相對論力學的幾何解釋。有關這些話題請參看相關條目。下面主要展示的主要是利用由時空流形上的時空間隔不變性得到的閔考斯基空間的數學結構（閔考斯基度規、由它推導出的量以及作為時空對稱群的龐加萊群），不包括其具體應用以及時空間隔不變性的推導。這個數學結構提供了目前廣義相對論以外所有相對論理論的背景。對於廣義相對論，閔考斯基時空仍可作為局部平坦的彎曲時空的出發點。

閔考斯基本人對於他的這種重新闡釋方法有著這樣的評價：

我想要在從實驗物理學土壤中勃發出的（理論）下埋置的時空觀在那裡擁有它自身的力量。它是激進的。自此，單是空間或是時間將隱沒入陰影之中，只有它們的聯合體才會維繫著一個獨立的現實。
——赫爾曼·閔考斯基，1908－1909^[6]

更進一步的歷史方面的資訊，請參閱Galison (1979), Corry (1997) and Walter (1999)。

數學結構

下文中，時空將被賦以對應某個慣性系的座標系。這樣就可以得到一個的原點。這個原點在把時空構造為向量空間的過程中很重要。儘管從物理意義來說這樣的一個正則原點（時空的「中心」事件）並不需要存在。人們可以構造具有更簡單結構的時空，比如仿射空間，但這會添加不必要的討論，並且不能反映平坦空間目前是如何從數學上處理的。

總體而言，閔考斯基空間是一個四維實向量空間。時空中每個點的切空間上具有非退化對稱雙線性形式，這裡稱作「閔考斯基內積」，度規符號差（英語：metric signature）為 $(+ - - -)$ 或 $(- + + +)$ 。每個事件的切空間是一個具有與時空相同維度的四維向量空間。

切向量

切空間在實際應用中可能並不會涉及。閔考斯基空間的切空間的性質可以讓人們擁有利用閔考斯基空間本體裡的向量標示切空間中向量的規範方法。例子請參見Lee (2003，Proposition 3.8.)。標識的過程通常是利用數學方法完成的。它們可以在直角座標系中表示為：^[7]

(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\leftrightarrow x^{0}\mathbf {e} _{0}|_{p}+x^{1}\mathbf {e} _{1}|_{p}+x^{2}\mathbf {e} _{2}|_{p}+x^{3}\mathbf {e} _{3}|_{p}\leftrightarrow x^{0}\mathbf {e} _{0}|_{q}+x^{1}\mathbf {e} _{1}|_{q}+x^{2}\mathbf {e} _{2}|_{q}+x^{3}\mathbf {e} _{3}|_{q},

其中切空間的基矢定義為：

\mathbf {e} _{\mu }|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{  或  }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{等}}.

這裡的 $p$ 和 $q$ 是任意的兩個事件，後一種標示叫作平行移動。第一種標示是利用空間本體中的向量來表示切空間中向量的規範方法。切空間的基矢會出現一階微分符號就是因為這種標示方式。這種標示方式得益於幾何切向量可以與一組平滑函數的方向導數一一對應。這使得流形中的切向量的定義不必基於 $ℝ n$ 。這種定義切向量方式並不是唯一的。通過普通的 $n$ 元向量也可以定義切向量。

將切向量定義為普通向量的方法

在直角座標系（對應於慣性系），點 $p$ 處的切向量可以定義為 $4 \times 1$ 的列向量 $v$ 。它通過勞侖茲變換 $Λ$ 依照 $v \to Λ v$ 在慣性系間變換，與座標 $x μ$ 的變換方式相同。具體來說，就是：

{\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{aligned}}

這種定義在標準同構下與上文給出的定義等價。

$p$ 點處的切向量有時還會以 $p$ 點處的「位移向量」表示，與上面規範標示方法基本相通。^[8]上述基於數學背景介紹的向量表示方法可以在Misner, Thorne & Wheeler (1970)找到它們物理的或是更為具體的幾何背景。

標準基底

閔可夫斯基時空的一組常用標準基底是四個互相正交的向量的集合(e₀, e₁, e₂, e₃) 使得

-\left(e_{0}\right)^{2}=(e_{1})^{2}=(e_{2})^{2}=(e_{3})^{2}=1

這些條件可以更簡要地寫成如下形式：

\langle e_{\mu },e_{\nu }\rangle =\eta _{\mu \nu }

其中μ與ν涵蓋的數值有{0, 1, 2, 3}，矩陣η稱為閔可夫斯基度規，數值為

\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

相對於一組標準基底，一向量 $V$ 的分量可以寫作 $(V^{0},V^{1},V^{2},V^{3})$ ，並且我們使用愛因斯坦標記來寫 $V=V^{\mu }e_{\mu }\,$ 。分量 $V^{0}$ 稱作 $V$ 的「類時分量」(timelike component)，而其他三個分量則稱作「類空分量」(spatial components)。

以分量來寫，兩個向量 $V$ 與 $W$ 間的內積可寫成

\langle V,W\rangle =\eta _{\mu \nu }V^{\mu }W^{\nu }=-V^{0}W^{0}+V^{1}W^{1}+V^{2}W^{2}+V^{3}W^{3}

，

而一向量 $V$ 的範數(norm)平方值為

V^{2}=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }=-(V^{0})^{2}+(V^{1})^{2}+(V^{2})^{2}+(V^{3})^{2}\,

。

勞侖茲變換和對稱性

因果結構

四維向量依據它們（閔可夫斯基）內積的正負號來區分。四維向量 $U$ 、 $V$ 與 $W$ 可分類如下：

$V$ 是類時(timelike)，若且唯若 $\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\,=V^{\mu }V_{\mu }<0$
$U$ 是類空(spacelike)，若且唯若 $\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }\,=U^{\mu }U_{\mu }>0$
$W$ 是零(null)或稱類光(lightlike)，若且唯若 $\eta _{\mu \nu }W^{\mu }W^{\nu }\,=W^{\mu }W_{\mu }=0$

這樣的術語源自於相對論中對於閔可夫斯基時空的使用。閔可夫斯基時空中一事件所有零向量的集合構成了該事件的光錐(light cone)。注意到這些標記的使用與參考系無關。

向量場被稱作是類時、類空或零，是看場定義所在的各點，其所對應的向量是類時、類空或零。

關於零向量一個有用的結果：「若兩個零向量 $A\,$ 、 $B\,$ 正交（即：零內積值 $A\cdot B=A^{\mu }B_{\mu }=0$ ），則它們必定是呈比例關係 $A=kB\,$ （ $k\,$ 為常數）。」

一旦時間方向選定了，類時向量與零向量可以再分為各種類別。以類時向量(timelike vector)來說，我們有

未來方向(future directed)類時向量，其第一個分量為正。
過去方向(past directed)類時向量，其第一個分量為負。

以零向量(null vector)來說，可分為三種類別：

純零向量(zero vector)，其在任何基底下，所有分量皆為(0,0,0,0)。
未來方向零向量，其第一個分量為正，而其餘分量為0。
過去方向零向量，其第一個分量為負，而其餘分量為0。

加上類空向量，全部共有六種類別。

閔可夫斯基時空中的正交歸一基底(orthonormal basis)必然包含一個類時與三個類空的單位向量。若希望以非正交歸一基底來做運算，則可有其他的向量組合。例如：可以輕鬆建構一種（非正交歸一）基底，整個是由零向量所組成，稱之為「零基底」(null basis)。

推廣

幾何意義

閔考斯基空間是狹義相對論中的一個概念，它由一個時間維和三個空間維組成。在這個四維時空中，不同的慣性參考系之間的座標變換可以通過勞侖茲變換來描述。閔考斯基空間的幾何意義在於，它提供了一種度量時空間隔的方法，這種度量是通過閔考斯基度規來定義的。

在閔考斯基空間中，時空間隔（也稱為線元）保持不變，即使在不同的慣性參考系中觀察。這個不變性是狹義相對論中相對性原理和光速不變原理的數學表述。具體來說，如果在一個慣性參考系中，兩個事件的時空間隔是 $ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ ，那麼在另一個慣性參考系中，這個間隔 $ds^{2}$ 也是相同的。這表明了時間和空間是相互聯繫的，不能單獨考慮。

閔考斯基空間對我們理解四維或多維空間有重要意義，它不僅簡化了對狹義相對論的理解，而且在物理學中引入了高維時空的概念，對物理學的發展產生了深遠影響。在現代物理理論中，如弦論，閔考斯基空間的概念也被擴展到更高維的時空中。總的來說，閔考斯基空間是現代物理學中一個基礎且強大的工具。

註釋

^ 這使得時空間隔成為了一個不變量。
^ 使用統一的術語來表述這個雙線性形式是有必要的。不過由於目前並沒有標準術語，因而只得使用這一併不「標準」的方式。
^ $x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = R 2 > 0$ 是 $ℝ 4$ 中的三維球面。可以保證 $R 2$ 不變的線性變換不是旋轉就是反射。
^ 威克轉動可以在路徑積分中對於在「復時間平面」上利用留數定理處理沿時間軸的一些特定的積分時促進收斂。

引注

^ Landau & Lifshitz 2002，第5頁
^ Lee 1997，第31頁
^ Schutz, John W. Independent Axioms for Minkowski Space-Time illustrated. CRC Press. 1977: 184-185 [2017-07-23]. ISBN 978-0-582-31760-4. （原始內容存檔於2020-09-05）. Extract of page 184 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ Poincaré 1905–1906，第129–176頁 Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron
^ Minkowski 1907–1908，第53–111頁 *Wikisource translation: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies.
^ ^6.0 ^6.1 Minkowski 1907–1909，第75–88頁 Various English translations on Wikisource: "Space and Time."
^ Lee 1997，第15頁
^ Lee 2003，chapter 3

參考文獻

Galison P L: Minkowski's Space-Time: from visual thinking to the absolute world, Historical Studies in the Physical Sciences (R McCormach et al. eds) Johns Hopkins Univ.Press, vol.10 1979 85-121
Corry L: Hermann Minkowski and the postulate of relativity, Arch. Hist. Exact Sci. 51 1997 273-314
Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space, Birkhäuser Verlag, Basel.
Naber, Gregory L. The Geometry of Minkowski Spacetime. New York: Springer-Verlag. 1992. ISBN 0-387-97848-8.
Roger Penrose (2005) Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe, chapter 18 "Minkowskian geometry", Alfred A. Knopf ISBN 978-0-679-45443-4 .
Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations, § 6.6 "Minkowski space", § 6.7,8 "Canonical forms", pp 221–42, Academic Press ISBN 978-0-12-639201-2 .
Walter, Scott. Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity. Goenner, Hubert et al. (ed.) (編). The Expanding Worlds of General Relativity. Boston: Birkhäuser. 1999: 45–86. ISBN 0-8176-4060-6. （原始內容存檔於2015-04-02）.

參閲

外部連結

維基共享資源上的相關多媒體資源：閔考斯基時空

YouTube上的Animation clip visualizing Minkowski space in the context of special relativity.
The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space - Time Light Cone

[2] 這使得時空間隔成為了一個不變量。

[4] 使用統一的術語來表述這個雙線性形式是有必要的。不過由於目前並沒有標準術語，因而只得使用這一併不「標準」的方式。

[7] $x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = R 2 > 0$ 是 $ℝ 4$ 中的三維球面。可以保證 $R 2$ 不變的線性變換不是旋轉就是反射。

[10] 威克轉動可以在路徑積分中對於在「復時間平面」上利用留數定理處理沿時間軸的一些特定的積分時促進收斂。

[1] Landau & Lifshitz 2002，第5頁

[3] Lee 1997，第31頁

[5] Schutz, John W. Independent Axioms for Minkowski Space-Time illustrated. CRC Press. 1977: 184-185 [2017-07-23]. ISBN 978-0-582-31760-4. （原始內容存檔於2020-09-05）. Extract of page 184 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[6] Poincaré 1905–1906，第129–176頁 Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron

[8] Minkowski 1907–1908，第53–111頁 *Wikisource translation: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies.

[raumzeit-9] 6.0 ^6.1 Minkowski 1907–1909，第75–88頁 Various English translations on Wikisource: "Space and Time."

[11] Lee 1997，第15頁

[12] Lee 2003，chapter 3

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