射影线性群

射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群（一般记作 PGL），是某个系数域为$\mathbb {K}$的向量空间V上的一般线性群在射影空间 P(V) 上诱导的群作用。具体来说，射影线性群是商群：

$\mathbb {P} {\mathcal {GL}}(V)={\mathcal {GL}}(V){\bigg /}\mathbb {K} (V)$

其中的${\mathcal {GL}}(V)$是V上的一般线性群，而$\mathbb {K} (V)$是由V上的所有数乘变换构成的${\mathcal {GL}}(V)$的子群。之所以在${\mathcal {GL}}(V)$中约去$\mathbb {K} (V)$，是因为它们在射影空间上的作用是平凡的（所以构成群作用的核）。$\mathbb {K} (V)$ 有时也被记作 ${\mathcal {Z}}(V)$，因为它是一般线性群的中心。

与射影线性群类似的还有射影特殊线性群，一般记作PSL。它的定义与射影线性群相似，只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上。

$\mathbb {P} {\mathcal {SL}}(V)={\mathcal {SL}}(V){\bigg /}{\mathcal {SZ}}(V)$

其中的${\mathcal {SL}}(V)$是V上的特殊线性群，而${\mathcal {SZ}}(V)$是$\mathbb {K} (V)$在${\mathcal {SL}}(V)$中的子群（即行列式等于1的数乘变换构成的子群）。显然 ${\mathcal {SZ}}(V)$ 是 ${\mathcal {SL}}(V)$ 的中心。若$V=\mathbb {K} ^{n}$（n 维空间），则 ${\mathcal {SZ}}(V)$ 同构于由n 次单位根构成的群。

射影线性群与射影特殊线性群都是群论和几何中最常研究的群，即所谓的“经典群”。射影线性群中的元素称为射影线性变换。$V=\mathbb {K} ^{n}$（n 维空间），那么这个射影线性群也记作$\mathbb {P} {\mathcal {GL}}(n,\mathbb {K} )$ 或 $\mathbb {P} {\mathcal {GL}}_{n}(\mathbb {K} )$。

当且仅当 $\mathbb {K}$ 中每一个元素的n 次根都在 $\mathbb {K}$ 中，例如在 $\mathbb {K}$ 代数封闭（比如是复数域 $\mathbb {C}$）的时候，射影线性群与射影特殊线性群等同。$\mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {C} )=\mathbb {P} {\mathcal {SL}}(2,\mathbb {C} )$。但是系数域为实数的时候，就有$\mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {R} )>\mathbb {P} {\mathcal {SL}}(2,\mathbb {R} )$。几何的解释是：实射影直线是有向的，而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换。

射影线性群与射影特殊线性群也可以在环上定义，一个重要的例子是模群$\mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {Z} )$。