可平行化流形

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数学中,一个 n光滑流形 M可平行化流形 是指具有向量场

V1, ..., Vn,

使得在 M 中任何一点 P切向量

Vi, P

组成 P切空间的一组。等价地说,切丛平凡丛,所以相伴的线性标架主丛有一个 M 的整体截面。

选取 M 上这样特定的一组向量场的基称为 M 的一个平行化绝对平行化

例子[编辑]

n=1 的一個例子是圓周:我們取 V1 為單位切向量場,比如都指向逆時針方向。n環面也可以平行化,因為可以看作是圓周的笛卡爾積。譬如取 n=2,將正方形坐標紙的對邊粘貼起來便組成了一個環面,取每個點的兩個切方向即可。更一般地,任何李群 G 可平行化,因為在單位元的切空間上一組基可以通過變換群 GG 上的作用移到任何一點。(任何變換是一個微分同胚從而這些微分同胚誘導了 G 上點的切空間的一個線性同構。)

一個經典問題是確定一個球面 Sn 是否可平行化。S1 即為圓周,可以平行化已經解釋了。毛球定理指出 S2 n 不能平行化。但是 S3 可以平行化,因為它就是李群 SU(2)。剩下惟一可平行化的球面是 S7;1958年被 Michel Kervaire 證明,拉乌尔·博特约翰·米尔勒也獨立地得到了这个结论。

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  • 术语标架流形(或装备流形)通常用于给定了一个法丛的平凡化的嵌入流形。