线性代数基本定理

线性代数基本定理是秩为r的m×n 矩阵A的奇异值分解:

$A=U\Sigma V^T\$

对于矩阵 $A \in \mathbf{R}^{m \times n}$ ( $A$ 有 $m$ 行及 $n$ 列)产生了四个基本线性子空间:

子空间名字	定义	包含于	维数	基
列空间, 值域或像	$\mathrm{im}(A)$ 或 $\mathrm{range} (A)$	$\mathbf{R}^m$	$r$ (秩)	$\mathbf{U}$ 的前 $r$ 列
零空间 or 核	$\mathrm{ker}(A)$ 或 $\mathrm{null} (A)$	$\mathbf{R}^n$	$n - r$ 零化度(nullity)	$\mathbf{V}$ 的最后 $(n - r)$ 列
行空间或余象	$\mathrm{im}(A^T)$ 或 $\mathrm{range} (A^T)$	$\mathbf{R}^n$	$r$ (秩)	$\mathbf{V}^T$ 的前 $r$ 行
左零空间或上核	$\mathrm{ker}(A^T)$ or $\mathrm{null} (A^T)$	$\mathbf{R}^m$	$m - r$ 上核(corank)	$\mathbf{U}^T$ 的最后 $(m - r)$ 行

Secondly:

In $\mathbf{R}^n$ , $\mathrm{ker}(A) = (\mathrm{im}(A^T))^\perp$ , 也就是, 零空间与行空间的正交补相同.
In $\mathbf{R}^m$ , $\mathrm{ker}(A^T) = (\mathrm{im}(A))^\perp$ , 也就是, 左零空间为列空间的正交补.

矩阵A的四个基本子空间.

子空间的维数遵从秩-零化度定理.

进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, 对偶空间 $A\colon V \to W$ 与 $A^* \colon W^* \to V^*$ : $A^*$ 的核与像是 $A$ 的上核与余象.

参见 [编辑]

Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 3rd ed. Orlando: Saunders, 1988.
Strang, Gilbert, The fundamental theorem of linear algebra, American Mathematical Monthly. 1993, 100 (9): 848–855, doi:10.2307/2324660