线性代数基本定理

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线性代数基本定理rm×n 矩阵A奇异值分解:

A=U\Sigma V^T\

对于矩阵A \in \mathbf{R}^{m \times n} ( A m行及n 列)产生了四个基本线性子空间:

子空间名字 定义 包含于 维数
列空间, 值域或 \mathrm{im}(A)\mathrm{range} (A) \mathbf{R}^m r () \mathbf{U}的前r
零空间 or \mathrm{ker}(A)\mathrm{null} (A) \mathbf{R}^n n - r 零化度(nullity) \mathbf{V}的最后(n - r)
行空间余象 \mathrm{im}(A^T)\mathrm{range} (A^T) \mathbf{R}^n r () \mathbf{V}^T的前r
左零空间上核 \mathrm{ker}(A^T) or \mathrm{null} (A^T) \mathbf{R}^m m - r 上核(corank) \mathbf{U}^T的最后(m - r)

Secondly:

  1. In \mathbf{R}^n, \mathrm{ker}(A) = (\mathrm{im}(A^T))^\perp, 也就是, 零空间与行空间的正交补相同.
  2. In \mathbf{R}^m, \mathrm{ker}(A^T) = (\mathrm{im}(A))^\perp, 也就是, 左零空间为列空间的正交补.
矩阵A的四个基本子空间.

子空间的维数遵从秩-零化度定理.

进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, 对偶空间A\colon V \to WA^* \colon W^* \to V^*: A^*的核与像是A的上核与余象.

参见[编辑]

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]