阻力

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形狀及流場 形狀
阻力
摩擦
阻力
Flow plate.svg 0% 100%
Flow foil.svg ~10% ~90%
Flow sphere.svg ~90% ~10%
Flow plate perpendicular.svg 100% 0%

阻力,又称後曳力空氣阻力流體阻力,是物體在流體中相對運動所產生與運動方向相反的。阻力的方向和其所在流場的流速方向相反[1]。一般摩擦力不隨速度變化而變化,但阻力會隨速度而變化[2]

對於一個在流體中移動的物體,阻力為周圍流體對物體施力,在移動方向的反方向上分量的總和。而施力和移動方向垂直的分量一般則視為升力。因此阻力和物體移動方向恰好相反,像飛機前進時會產生推力來克服阻力的影響。

航天动力学中,大氣阻力可以視為太空飛行器在發射時的低效率,其影響則是在發射時需要額外的能量,不過在返回軌道時大氣阻力有助於太空飛行器減速,可減少減速額外需要的能量,不過大氣阻力產生的熱量甚至可以將物體熔化。

分類[编辑]

阻力一般可以分為以下幾類:

  • 寄生阻力(parasitic drag),包括
    • 形狀阻力(form drag)
    • 摩擦阻力(skin friction)
    • 干扰阻力(interference drag)
  • 誘導阻力lift-induced drag,只出現在可產生升力的機翼面上)及
  • 波動阻力(wave drag, wave resistance)

對於高速(或高雷諾數)的流場而言,一物體的阻力的特性可以用一個無因次阻力係數來描述,配合阻力係數,可以用阻力方程式來計算阻力。若阻力係數為一常數,阻力約和相對速度的平方成正比,因此需克服阻力需要的功率則和速度的立方成正比。

高速時的阻力[编辑]

NASA對阻力的解說

阻力方程式可計算物體在較高速(雷諾數Re > ~1000)流體下的阻力,此阻力也稱為二次阻力或平方阻力。此方程式是由瑞利勛爵所提出,提出時用L2L代表某特定長度)代替A,物體所受的流體阻力如下:

F_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2,\, C_d,\, A,,,

其中

 \mathbf{F}_D 為阻力
 \mathbf{} \rho 為流體密度[3]
 \mathbf{} v 為流體相對於物體的速度
 \mathbf{} C_d 為阻力係數,為一無因次的參數,像汽車的阻力係數約為0.25至0.45
 \mathbf{} A 為參考面積

參考面積A一般定義為物體在運動方向上的正交投影面積。對於形狀簡單的物體(例如球),參考面即為截面。有時會使用其他的參考面積來定義一物體的阻力係數,此時需特別標明使用的參考面。

以機翼而言,若阻力及升力使用的參考面積相同,阻力及升力的比值(升阻比)即為阻力係數及升力係數英语lift coefficient的比值,在比較阻力及升力的大小時最為方便[4]。因此機翼阻力係數的參考面積一般會是機翼的翼面積(即機翼沿垂直方向的投影面積),而不是沿飛行方向的投影面積[5]

若物體有光滑的表面,在流場中沒有固定的分离点(例如球或圓柱),其阻力係數會隨著雷諾數Re而變化,甚至在雷諾數很高(其量級到107)時也是如此 [6] [7]。 若物體有在流場中有固定的分离点(例如一法向量和流場方向平行的圓盤),在雷諾數Re > 3,500時,阻力係數不隨雷諾數而變化[7]。若物體不是球對稱,阻力係數也是流場和物體本身對稱軸夾角的函數。

自由落體的速度[编辑]

一物體在在時間t = 0時的初速v = 0,在非濃稠的介質落下(因此不考慮介質的浮力),其速度可以用以下的双曲函数表示:

 v(t) = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho C_d A}{2 m}} \right). \,

t很大時,雙曲正切函數tanh其函數極限值為1,因此上述的速度有一漸近值,稱為終端速度vt

v_{t} = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} }. \,

對於形狀接近球形、平均半徑為d、密度為ρobj的物體,終端速度約為

v_{t} = \sqrt{ gd \frac{ \rho_{obj} }{\rho} }. \,

若物體的密度接近水(如雨滴、冰雹、鳥、昆蟲等)差不多,在接近海平面的地表落下,終端速度約為

v_{t} = 90 \sqrt{ d }, \,

其中

d 的直徑,單位是公尺
vt 為速度,單位為m/s。

例如人體( \mathbf{} d ~ 0.6 m)其 \mathbf{} v_t 約為 70 m/s,體型接近貓的動物( \mathbf{} d ~ 0.2 m)其 \mathbf{} v_t 約為 40 m/s,小鳥( \mathbf{} d ~ 0.05 m)其 \mathbf{} v_t ~ 20 m/s約為 40 m/s,而昆蟲( \mathbf{} d ~ 0.01 m)其 \mathbf{} v_t ~ 9 m/s。

非常小的物體(例如花粉)在低雷諾數流體中的終端速度可以用斯托克斯定律來描述。

較大的生物其終端速度較高,因此從高處落下時致命的可能性也較高。例如老鼠和人分別以各自的終端速度墜落時,老鼠其存活的可能性會比人高很多。若蚱蜢以其終端速度墜落時,可能甚至不會受傷。生物大小和其終端速度的關係,以及其肢體截面積和身體質量間的比例關係(一般稱為平方立方定律英语Square-cube law)可用來說明為何有些小動物從高處落下時不會受傷[8]

雷諾數很低時的阻力[编辑]

三個由相同角度(70°)射出物體的軌跡。黑色物體未受到任何阻力,其軌跡為拋物線,藍色物體受到斯托克斯阻力,而綠色物體受到牛頓阻力

當物體在雷諾數很低,沒有紊流(雷諾數R_e < 1)的流體中[9]移動時,其受到的阻力稱為黏滯阻力、線性阻力。此情形下,阻力大約和速度成正比,但和速度方向相反。黏滯阻力的方程式如下:[10]

\mathbf{F}_d = - b \mathbf{v} \,

其中:

\mathbf{} b 為一常數,和流體特性及物體尺寸有關
 \mathbf{v} 為物體和流體的相對速度

若一物體由靜止狀態落下,其速度為

v(t) = \frac{(\rho-\rho_0)Vg}{b}\left(1-e^{-bt/m}\right)

其速度會趨近終端速度 \mathbf{} v_t = \frac{(\rho-\rho_0)Vg}{b}。若\mathbf{} b 為定值,較重的物體會較快落下。

對於小的球形物體緩慢的通過黏性流體(因此雷諾數很小)的情形,斯托克斯推導其阻力常數如下

b = 6 \pi \eta r\,

其中

\mathbf{} r 為物體的当量球径
\mathbf{} \eta 為流體的黏滯係數

例如,考慮一半徑 \mathbf{} r = 0.5 微米(直徑=1.0 µm)的球形物體以10 µm/s的速度通過水中。依上式可得其阻力為0.09 pN,這也就是細菌游過水中所受到的阻力。

空氣動力學中的阻力[编辑]

誘導阻力[编辑]

誘導阻力和升力的關係

誘導阻力(或稱感應阻力)是指飛行體在產生升力時,一併衍生的阻力。誘導阻力包括二個主要組成成分,一個是因為渦流而產生的阻力(渦流阻力),另一個則是額外產生的黏滯阻力。在飛行體通過空氣時,其上表面及下表面的氣流壓強不同,但在飛行體尾端,上方及下方不同壓強的氣流會混合,產生紊流及渦流[11]

在其他參數不變的條件下,當飛行體產生的升力增加時,其誘導阻力也隨之增加。對飛行中的飛機而言,這表示在飛機失速前,當其攻角升力係數英语lift coefficient增加時,其誘導阻力也隨之增加。當失速時,升力及誘導阻力都突然下降,而此時飛行體表面形成獨立的紊流,造成寄生阻力中的黏滯壓差阻力上昇。

寄生阻力[编辑]

寄生阻力是一物體在一不可壓縮流體中移動所受到的阻力。寄生阻力中包括由秥滯力產生壓強差的阻力(形狀阻力)以及因表面粗糙度產生的阻力(表面摩擦阻力)。若物體附近有其他相鄰近的物體,會產生干擾阻力,有時也會視為寄生阻力的一部份。

在低速飛行時,由於維持升力需要的功率較大,飛機的攻角較大,其產生的誘導阻力也較大。不過當速度提高時誘導阻力隨之下降,而流體相對物體的速度提高,因此寄生阻力會變大。若速度已到達穿音速,波動阻力也隨之出現。其中速度提高時,誘導阻力下降,其他阻力卻隨之上昇,因此總阻力會在某一速度時出現最小值,若飛機以此速度航行,其效率會等於或接近其最佳效率。飛行員會以此速度來使續航力最大化(使油耗最小化),或是在引撃故障時可以使滑翔距離最大化。

飛行時的功率曲线[编辑]

功率曲线:寄生阻力及誘導阻力和速度之間的關係

可以將寄生阻力及誘導阻力相對速度的特性曲線繪製在同一圖上,此圖在航空學中稱為功率曲线。功率曲线可以讓飛行員了解不同速度下,飛機飛行所需要輸出的功率,是非常重要的曲線。

功率曲线中寄生阻力及誘導阻力有一交點,交點處的阻力總和最小。交點的右側為正常控制区,當速度越高時,維持定速需要的推力越大。交點的左側為反向控制区,此區域的功率特性恰好與一般直覺的認知相反:當速度越低時,維持定速需要的推力越大。夂當速度越高時,維持定速需要的推力越大。若飛機的速度低於此交點對應的速度,會出現一個不符合人類直覺的特性:當速度越低時,維持定速需要的推力越大。

跨音速及超音速的波動阻力[编辑]

阻力係數與音速的關係示意圖

波動阻力(壓縮性阻力)是指一高速物體通過可壓縮流體時所出現的阻力。在空氣動力學中,依飛行速度的不同,波動阻力也可分為幾種不同的組成成份。

在跨音速飛行(馬赫數介於0.8及1.4之間)時,波動阻力是飛行體形成激波後的結果。一般會出現在出現局部超音速流(局部流體馬赫數大於1.0)的區域。實務上,當飛行體較音速低很多,但加速時部份區域的空氣速度超過音速,就會出現局部超音速流。因此飛機附近的氣流既有超音速流,也有低於音速的亞音速。飛機在跨音速飛行的正常運作過程中常會產生波動阻力,這種波動阻力常稱為跨音速壓縮性阻力。當馬赫數接近1時,跨音速壓縮性阻力會顯著的上昇,遠大於同速度下的其他阻力。

在超音速飛行(馬赫數大於1.0)時,會在飛行體的前緣後緣出現斜激波。若速度非常高,或是飛行體轉彎角度夠大時,則會出現舷波(bow wave)。在超音速飛行時,阻力一般可以分為二個成份:超音速升力相關的波動阻力,及超音速體積相關的波動阻力。

布斯曼雙翼機英语Busemann's Biplane是一種特殊型式的飛行體,當依其設計速度航行時,完全不產生波動阻力,不過它本身無法產生升力。

達朗伯特悖論[编辑]

位流理論是18世紀最能解釋非黏性流英语inviscid flow的理論。但1752年時法國物理學家達朗伯特依位流理論,推導到位流下其阻力為零的結果,此結果和實測結果矛盾,因此稱為達朗伯特悖論

19世紀時科學家圣维南納維斯托克斯開始用納維-斯托克斯方程來分析黏性流。斯托克斯推導了一球形物體在雷諾數很低的流體中的阻力,其結果即為斯托克斯定律[12]

納維-斯托克斯方程在高雷諾數時會趨近非黏性流的歐拉方程式,此時可以用位流理論進行分析,得到阻力為零的結果,但所有在高雷諾數下進行的實驗,均證實阻力的存在,和位流所得的結果矛盾。科學家也試著找出除了位流以外,欧拉方程在非黏性定常流的解,不過沒有什麼進展[12]

1904年德國科學家普朗特依理論及實驗的結果,提出了邊界層的概念,也說明了高雷諾數流體為何會產生阻力。[12]

相關[编辑]

腳註[编辑]

  1. ^ French (1970), p. 210
  2. ^ French(1970), p. 211, Eq. 7-20
  3. ^ 若在地球大气层中,空氣密度可以用压高公式英语barometric formula計算。在0°C,一大氣壓條件下密度為1.293 kg/m3
  4. ^ Size effects on drag, from NASA Glenn Research Center.
  5. ^ Wing geometry definitions, from NASA Glenn Research Center.
  6. ^ Roshko, Anatol. Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds number. Journal of Fluid Mechanics. 1961, 10 (3): 345–356. Bibcode:1961JFM....10..345R. doi:10.1017/S0022112061000950. 
  7. ^ 7.0 7.1 Batchelor (1967), p. 341.
  8. ^ Haldane, J.B.S., "On Being the Right Size"
  9. ^ Drag Force
  10. ^ Air friction, from Department of Physics and Astronomy, Georgia State University
  11. ^ 管德. 坐飞机去. 北京: 清华大学出版社. 2000: 72. ISBN 7810299379. 
  12. ^ 12.0 12.1 12.2 Batchelor (2000), pp. 337–343.

參考資料[编辑]

  • French, A. P. Newtonian Mechanics (The M.I.T. Introductory Physics Series) 1st. W. W. Norton & Company Inc., New York. 1970. ISBN 0393099709. 
  • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers 6th. Brooks/Cole. 2004. ISBN 0-534-40842-7. 
  • Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics 5th. W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0809-4. 
  • Huntley, H. E. Dimensional Analysis. Dover. 1967. LOC 67-17978. 
  • Batchelor, George. An introduction to fluid dynamics. Cambridge Mathematical Library 2nd. Cambridge University Press. 2000. ISBN 978-0-521-66396-0. MR1744638. 

外部連結[编辑]