非传递博弈

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

非传递博弈 是一个通过多种策略得到一个或者更多“循环”选择的博弈。在非传递博弈中,如果策略A优于策略B,策略B优于策略C,并不能推导出策略A优于策略C。

非传递博弈的雏形是剪刀、石頭、布。在概率博弈(probabilistic games)中,比如賭便士英语Penney's game以一种更微妙的方式违反传递律,常常被表述为一个概率悖论(probability paradox)。

例子[编辑]

一些非传递博弈的例子:

  • 剪刀、石頭、布
  • 賭便士英语Penney's game
  • 非傳遞骰子英语Nontransitive dice
  • 加州側斑蜥蜴 (side-blotched lizard),雄性蜥蜴喉嚨橘色黃色藍色三種,橘喉蜥蜴採用侵略策略,地盤範圍大,地盤內有許多蜥蜴。黃喉蜥蜴則採用偷偷摸摸策略來反制,趁著橘喉蜥蜴一不注意,就溜進去橘喉蜥蜴的地盤和雌蜥蜴交配。但黃喉蜥蜴的策略又會被藍喉蜥蜴破解,因為藍喉蜥蜴生性妒忌,而且設下的地盤較小,後宮嬪妃少,陌生蜥蜴休想暗地偷情。然而,橘喉蜥蜴又會直接侵略藍喉蜥蜴的地盤,掠奪藍喉蜥蜴的妻妾。如此一來,三者之間形成美麗的對稱。
  • 合作者搭便車者獨處者的「三難」選擇:
    • 獨處者不加入團體,只能得到一小筆錢。
    • 自願加入團體,成為合作者,就能得到比較大的獎勵。
    • 自願加入團體再選擇作弊而成為搭便車者,贏得的獎勵則又更大。
    • 但如果太多人選擇當搭便車者,則合作者和搭便車者得到的獎勵都會大減,反而還不如當個獨處者。
  • 以下的三種細菌族群
    • A族群能產生天然的抗菌物質大腸桿菌素」,但本身對這種抗菌物質免疫。
    • B族群對大腸桿菌素很敏感,但生長的速度比C族群快。
    • C族群則能夠抵抗大腸桿菌素。

那麼,在培養皿中,A族群能殺死附近的B族群,B族群則能靠著生長速度來排擠C族群,而C族群又能靠著自身免疫力來排擠A族群!

  • 假定以下四人各有一粒骰子,要兩兩相互比大小,擲出較大點數者獲勝,各人的骰子每面分別為:

此時,如果我們讓路人乙和路人甲比賽,會有以下四種結果:

  • 5比4,路人乙勝(機率
  • 5比3,路人乙勝(機率
  • 0比4,路人甲勝(機率
  • 0比3,路人甲勝(機率

因此,賭局對路人乙有利,她贏的機率為

類似的分析可知:路人甲勝路人丙,機率,路人丙勝路人丁,機率,但這並不表示路人乙一定也可以打敗路人丁,因為,若真叫兩人上場比賽,怪的是,路人丁會有的機率獲勝!

這說明了機率的不可遞移性。

更經典的例子是下列三人的骰子:

三人各有的機率打敗另一人。(路人庚打敗路人戊,路人戊打敗路人己,而路人己又能打敗路人庚)

  • 也有超過兩個立場相互對抗的情況,假定以下七人各有一粒骰子,要三個三個相互比大小,擲出最大點數者獲勝,各人的骰子每面分別為:
    • 小丸子: 7, 7, 10, 10, 16, 16
    • 小玉: 6, 6, 8, 8, 19, 19
    • 花輪: 5, 5, 13, 13, 15, 15
    • 美環: 4, 4, 11, 11, 18, 18
    • 丸尾: 3, 3, 9, 9, 21, 21
    • 濱崎: 2, 2, 14, 14, 17, 17
    • 野口: 1, 1, 12, 12, 20, 20

則我們可以發現小丸子能打敗小玉, 花輪, 丸尾;小玉能打敗花輪, 美環, 濱崎;花輪能打敗美環, 丸尾, 野口;美環能打敗小丸子, 丸尾, 濱崎;丸尾能打敗小玉, 濱崎, 野口;濱崎能打敗小丸子, 花輪, 野口;野口能打敗小丸子, 小玉, 美環(各有的機率)。因此,對於任意兩人,都有第三個人同時能夠打敗他們!

  • 或者是以下五人的骰子:
    • 兩津:4, 4, 4, 4, 4, 9
    • 大原:3, 3, 3, 3, 8, 8
    • 本田:2, 2, 2, 7, 7, 7
    • 中川:1, 1, 6, 6, 6, 6
    • 麗子:0, 5, 5, 5, 5, 5

則:

  • (1)兩津打敗大原,大原打敗本田,本田打敗中川,中川打敗麗子,麗子打敗兩津。
  • (2)兩津打敗本田,本田打敗麗子,麗子打敗大原,大園打敗中川,中川打敗兩津。

因此,對於當中的任意兩人,都有第三個人同時能夠打敗他們。

参考资料[编辑]

  • Martin Gardner, "The Colossal Book of Mathematics", W.W. Norton & Company (2001).