非传递博弈

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非传递博弈 是一个通过多种策略得到一个或者更多“循环”选择的博弈。在非传递博弈中,如果策略A优于策略B,策略B优于策略C,并能推导出策略A优于策略C。

非传递博弈的雏形是剪刀、石頭、布。在概率博弈(probabilistic games)中,比如Penney's game,以一种更微妙的方式违反传递律,常常被表述为一个概率悖论(probability paradox)。

例子[编辑]

一些非传递博弈的例子:

  • 剪刀、石頭、布
  • Penney's game英语Penney's game
  • 非傳遞骰子英语Nontransitive dice
  • 加州側斑蜥蜴 (side-blotched lizard),雄性蜥蜴喉嚨橘色黃色藍色三種,橘喉蜥蜴採用侵略策略,地盤範圍大,地盤內有許多蜥蜴。黃喉蜥蜴則採用偷偷摸摸策略來反制,趁著橘喉蜥蜴一不注意,就溜進去橘喉蜥蜴的地盤和雌蜥蜴交配。但黃喉蜥蜴的策略又會被藍喉蜥蜴破解,因為藍喉蜥蜴生性妒忌,而且設下的地盤較小,後宮嬪妃少,陌生蜥蜴休想暗地偷情。然而,橘喉蜥蜴又會直接侵略藍喉蜥蜴的地盤,掠奪藍喉蜥蜴的妻妾。如此一來,三者之間形成美麗的對稱。
  • 神魔之塔中屬性的相剋關係:,火剋,木剋水。(互剋)
  • 合作者搭便車者獨處者的「三難」選擇:
    • 獨處者不加入團體,只能得到一小筆錢。
    • 自願加入團體,成為合作者,就能得到比較大的獎勵。
    • 自願加入團體再選擇作弊而成為搭便車者,贏得的獎勵則又更大。
    • 但如果太多人選擇當搭便車者,則合作者和搭便車者得到的獎勵都會大減,反而還不如當個獨處者。
  • 以下的三種細菌族群
    • A族群能產生天然的抗菌物質大腸桿菌素」,但本身對這種抗菌物質免疫。
    • B族群對大腸桿菌素很敏感,但生長的速度比C族群快。
    • C族群則能夠抵抗大腸桿菌素。

那麼,在培養皿中,A族群能殺死附近的B族群,B族群則能靠著生長速度來排擠C族群,而C族群又能靠著自身免疫力來排擠A族群!

  • 假定以下四人各有一粒骰子,要兩兩相互比大小,擲出較大點數者獲勝,各人的骰子每面分別為:

此時,如果我們讓蔡依林和張韶涵比賽,會有以下四種結果:

  • 5比4,蔡依林勝(機率\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{3}
  • 5比3,蔡依林勝(機率\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{3}
  • 0比4,張韶涵勝(機率\frac{2}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{6}
  • 0比3,張韶涵勝(機率\frac{2}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{6}

因此,賭局對蔡依林有利,她贏的機率為\frac{2}{3}

類似的分析可知:張韶涵勝王心凌,機率\frac{2}{3},王心凌勝楊丞琳,機率\frac{2}{3},但這並不表示蔡依林一定也可以打敗楊丞琳,因為,若真叫兩人上場比賽,怪的是,楊丞琳會有\frac{2}{3}的機率獲勝!

這說明了機率的不可遞移性。

更經典的例子是下列三人的骰子:

  • Hebe:2, 2, 4, 4, 9, 9
  • Ella:1, 1, 6, 6, 8, 8

三人各有\frac{5}{9}的機率打敗另一人。(Selina打敗Hebe,Hebe打敗Ella,而Ella又能打敗Selina)

  • 也有超過兩個立場相互對抗的情況,假定以下七人各有一粒骰子,要三個三個相互比大小,擲出最大點數者獲勝,各人的骰子每面分別為:
    • A: 7, 7, 10, 10, 16, 16
    • B: 6, 6, 8, 8, 19, 19
    • C: 5, 5, 13, 13, 15, 15
    • D: 4, 4, 11, 11, 18, 18
    • E: 3, 3, 9, 9, 21, 21
    • F: 2, 2, 14, 14, 17, 17
    • G: 1, 1, 12, 12, 20, 20

則我們可以發現A能打敗B, C, E;B能打敗C, D, F;C能打敗D, E, G;D能打敗A, E, F;E能打敗B, F, G;F能打敗A, C, G;G能打敗A, B, D(各有\frac{5}{9}的機率)。因此,對於任意兩人,都有第三個人同時能夠打敗他們!

  • G勝A, B;F勝A, C;G勝A, D;D勝A, E;D勝A, F;F勝A, G;
  • A勝B, C;G勝B, D;A勝B, E;E勝B, F;E勝B, G;
  • B勝C, D;A勝C, E;B勝C, F;F勝C, G;
  • C勝D, E;B勝D, F;C勝D, G;
  • D勝E, F;C勝E, G;
  • E勝F, G。
  • 或者是以下五人的骰子:

則:

  • (1)阿信打敗怪獸,怪獸打敗瑪莎,瑪莎打敗石頭,石頭打敗冠佑,冠佑打敗阿信。
  • (2)阿信打敗瑪莎,瑪莎打敗冠佑,冠佑打敗怪獸,怪獸打敗石頭,石頭打敗阿信。

因此,對於當中的任意兩人,都有第三個人同時能夠打敗他們。

参考资料[编辑]

  • Martin Gardner, "The Colossal Book of Mathematics", W.W. Norton & Company (2001).