非传递博弈

非传递博弈是一个通过多种策略得到一个或者更多“循环”选择的博弈。在非传递博弈中，如果策略A优于策略B，策略B优于策略C，并不能推导出策略A优于策略C。

非传递博弈的雏形是剪刀、石头、布。在概率博弈（probabilistic games）中，比如赌便士以一种更微妙的方式违反传递律，常常被表述为一个概率悖论（probability paradox）。

例子

一些非传递博弈的例子：

• 剪刀、石头、布
• 赌便士
• 非传递骰子
• 加州侧斑蜥蜴 (side-blotched lizard)，雄性蜥蜴的喉咙有橘色、黄色及蓝色三种，橘喉蜥蜴采用侵略策略，地盘范围大，地盘内有许多雌蜥蜴。黄喉蜥蜴则采用偷偷摸摸策略来反制，趁著橘喉蜥蜴一不注意，就溜进去橘喉蜥蜴的地盘和雌蜥蜴交配。但黄喉蜥蜴的策略又会被蓝喉蜥蜴破解，因为蓝喉蜥蜴生性妒忌，而且设下的地盘较小，后宫嫔妃少，陌生蜥蜴休想暗地偷情。然而，橘喉蜥蜴又会直接侵略蓝喉蜥蜴的地盘，掠夺蓝喉蜥蜴的妻妾。如此一来，三者之间形成美丽的对称。
• 当合作者、搭便车者、独处者的“三难”选择：
  • 独处者不加入团体，只能得到一小笔钱。
  • 自愿加入团体，成为合作者，就能得到比较大的奖励。
  • 自愿加入团体再选择作弊而成为搭便车者，赢得的奖励则又更大。
  • 但如果太多人选择当搭便车者，则合作者和搭便车者得到的奖励都会大减，反而还不如当个独处者。
• 以下的三种细菌族群：
  • A族群能产生天然的抗菌物质“大肠杆菌素”，但本身对这种抗菌物质免疫。
  • B族群对大肠杆菌素很敏感，但生长的速度比C族群快。
  • C族群则能够抵抗大肠杆菌素。

那么，在培养皿中，A族群能杀死附近的B族群，B族群则能靠著生长速度来排挤C族群，而C族群又能靠著自体免疫力来排挤A族群！

• 假定以下四人各有一粒骰子，要两两相互比大小，掷出较大点数者获胜，各人的骰子每面分别为：
  • 路人乙：5, 5, 5, 5, 0, 0
  • 路人甲：4, 4, 4, 3, 3, 3
  • 路人丙：7, 7, 2, 2, 2, 2
  • 路人丁：6, 6, 6, 1, 1, 1

此时，如果我们让路人乙和路人甲比赛，会有以下四种结果：

• 5比4，路人乙胜（机率${\frac {4}{6}}\cdot {\frac {3}{6}}={\frac {1}{3}}$）
• 5比3，路人乙胜（机率${\frac {4}{6}}\cdot {\frac {3}{6}}={\frac {1}{3}}$）
• 0比4，路人甲胜（机率${\frac {2}{6}}\cdot {\frac {3}{6}}={\frac {1}{6}}$）
• 0比3，路人甲胜（机率${\frac {2}{6}}\cdot {\frac {3}{6}}={\frac {1}{6}}$）

因此，赌局对路人乙有利，她赢的机率为${\frac {2}{3}}$。

类似的分析可知：路人甲胜路人丙，机率${\frac {2}{3}}$，路人丙胜路人丁，机率${\frac {2}{3}}$，但这并不表示路人乙一定也可以打败路人丁，因为，若真叫两人上场比赛，怪的是，路人丁会有${\frac {2}{3}}$的机率获胜！

这说明了机率的不可递移性。

更经典的例子是下列三人的骰子：

• 路人庚：3, 3, 5, 5, 7, 7
• 路人戊：2, 2, 4, 4, 9, 9
• 路人己：1, 1, 6, 6, 8, 8

三人各有${\frac {5}{9}}$的机率打败另一人。（路人庚打败路人戊，路人戊打败路人己，而路人己又能打败路人庚）

• 也有超过两个立场相互对抗的情况，假定以下七人各有一粒骰子，要三个三个相互比大小，掷出最大点数者获胜，各人的骰子每面分别为：
  • 小丸子: 7, 7, 10, 10, 16, 16
  • 小玉: 6, 6, 8, 8, 19, 19
  • 花轮: 5, 5, 13, 13, 15, 15
  • 美环: 4, 4, 11, 11, 18, 18
  • 丸尾: 3, 3, 9, 9, 21, 21
  • 滨崎: 2, 2, 14, 14, 17, 17
  • 野口: 1, 1, 12, 12, 20, 20

则我们可以发现小丸子能打败小玉、花轮、丸尾；小玉能打败花轮、美环、滨崎；花轮能打败美环、丸尾、野口；美环能打败小丸子、丸尾、滨崎；丸尾能打败小玉、滨崎、野口；滨崎能打败小丸子、花轮、野口；野口能打败小丸子、小玉、美环（各有${\frac {5}{9}}$的机率）。因此，对于任意两人，都有第三个人同时能够打败他们！

• 或者是以下五人的骰子：
  • 两津：4, 4, 4, 4, 4, 9
  • 大原：3, 3, 3, 3, 8, 8
  • 本田：2, 2, 2, 7, 7, 7
  • 中川：1, 1, 6, 6, 6, 6
  • 丽子：0, 5, 5, 5, 5, 5

则:

1. 两津打败大原，大原打败本田，本田打败中川，中川打败丽子，丽子打败两津。
2. 两津打败本田，本田打败丽子，丽子打败大原，大园打败中川，中川打败两津。

因此，对于当中的任意两人，都有第三个人同时能够打败他们。

参考资料

• Martin Gardner, "The Colossal Book of Mathematics", W.W. Norton & Company (2001).