圆周率近似值

圓周率近似值隨時間的發展

比較不準確的近似值

值得注意的是，一些法律或歷史文本欲「定義π」為有理數，尤其是1897年的「印第安納州法案」，指明「直徑和圓周比例為四分之五比4（暗示「π= 3.2」）；和希伯來聖經中的一個段落，暗示「π= 3」。

印第安納州法案

主条目：印第安纳圆周率法案

計算圓周率近似值的方程的發展

多方面的近似值

在古代，人們使用60進制來計算。在60進制中，π能被準確至小數點後八位（十進制），而這數字是3:8:29:44₆₀，即是：

$3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}$

（下一個60進制的數位為0）

除此之外，π的近似值還能以以下方式表示：

• 準確至3位：

${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}$

• 準確至4位：

${\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}$

• 準確至4位：

${\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}$

• 拉馬努金的近似值，準確至4位：

${\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}$

• 準確至5位：

${\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}$

• 準確至7位：

${\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}$

• 準確至9位：

${\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}$

這是拉馬努金提出的，拉馬努金說他在夢中收到印度神Namagiri的啟示。

• 準確至10位：

${\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}$

• 準確至10位：

${\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}$

• 準確至18位：

${\frac {80{\sqrt {15}}(5^{4}+53{\sqrt {89}})^{\frac {3}{2}}}{3308(5^{4}+53{\sqrt {89}})-3{\sqrt {89}}}}$

• 準確至30位：

圓形的面積

可以通过蒙特卡洛方法来计算圆周率$\pi$。

以原点（0, 0）为圆心，画一个半径为$r$的圆。然后以原点为中心，画一个边长为$2r$的正方形。圆和正方形内切。

圆的面积为$A_{1}=\pi *r^{2}$，正方形的面积为$A_{2}=(2r)^{2}=4r^{2}$。

于是有，$A_{1}/A_{2}=\pi /4$。

通过生成0到r之间随机数作为一个点的横纵坐标，所有点均落在正方形内。

通过统计圆内的点数$N_{inside}$与总点数$N_{total}$，$\pi =4*A_{1}/A_{2}=4*N_{inside}/N_{total}$。

当随时点的数目增加时，所得结果会越接近于圆周率。

但是该方法也有不足之处。具体可参考蒙特卡洛方法。

連分數

π的連分數表示式是[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]。這連分數沒有任何模式。π有很多用一條簡單的規矩然製成的廣義連分數

$\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}\!$

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\!$

（其他連分數能在這裡（页面存档备份，存于互联网档案馆）查看。）

計算任意數位的方法

在1995年，西蒙·普勞夫發現了贝利－波尔温－普劳夫公式。這公式能在16進制中計算pi的任意數位，而不用計算之前的數位。

$\pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}\!$

在1996年，西蒙·普勞夫發明了一個公式，能在O(n³log(n)³)的時間之內計算出pi在任意進制的第n個數位。在1997年，法布里斯·贝拉發明了另一個公式，把計算所需時間縮短至O(n²)。他又發明了在2進制計算pi的公式。

$\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\!$

有效的方法

在1961年，丹尼爾柄和他的團隊在美國海軍研究實驗室計算了π的前100,000數位。

他和他的團隊使用了兩個不同的幂級數來計算π的數值。第一個幂級數中，任何錯誤都會造成一個比較高的數值；而另一個中，任何錯誤都會造成一個比較低的數值。所以如果兩個幂級數計算出同樣的數值，那個數值就肯定正確。美國海軍研究實驗室發放了π的前100,000數位。

但是以上的兩個幂級數也要很長的時間才能計算出結果。相反地，約翰·梅欽的公式與反正切的泰勒级数一起使用則能很快地計算結果：

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!$

使用複數的極坐標系便能證實這公式，以以下的數學式開始：

$(5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).\!$

這類的公式被稱為梅欽類公式。(注意，{ x,y} = {239, 13²}是佩爾方程「x²-2y² = -1」的其中一個解答。)

印度數學家斯里尼瓦瑟·拉马努金發現了π的很多其他表示方式。他與戈弗雷·哈罗德·哈代一起工作了很多年。

如果要計算π小數點後很多位，計算者通常會使用高斯-勒让德算法，波尔温公式，和1976年發明的薩拉明 - 布倫特公式。

π和¹/_π的小數點後首十萬位能在古腾堡计划裡查閱(參見#外部連結)。

在2002年12月，在東京大學進修的金田康正發放了π小數點後1,241,100,000,000位的值，創造了新的世界記錄。他在2002年9月以六十四部日立的超級電腦計算出這值。這些電腦有1TB的記憶體，而且能在每秒執行2兆次運算。上一個記錄(21億位)所使用的電腦每秒只能執行1兆次運算。金田康正使用了以下公式：

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}\!$

K. Takano (1982).

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}\!$

F. C. W. Störmer (1896).

這些近似值由於有太多數位，所以沒有實際用途，只是用來測試超級電腦。

在1997年，大衛·貝利（David H. Bailey）、皮特·波爾溫和西蒙·普勞夫發佈了一條新的公式來計算π的值：

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).\!$

這公式能在不知道前k - 1數位的值之下，在2進制或16進制中計算出π的第k個數位的值。貝利的網頁（页面存档备份，存于互联网档案馆）包含了計算方法，而且把方法以幾個程式語言記下。PiHex計算出π小數點後一兆數位的值。

法布里斯·贝拉推出了贝利－波尔温－普劳夫公式的改良版——貝拉公式：

$\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\!$

還有其他計算π的值的公式：

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\!$

牛頓

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!$

斯里尼瓦瑟·拉马努金

拉馬努金的公式收歛的速度異常地快，這公式後來在2000年演變成最快的公式：

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}\!$

David Chudnovsky和Gregory Chudnovsky.

計算圓周率近似值的軟件

General purpose

大多数计算机代数系统可以计算出π和其他常见的数学常数到任何所需的精度。

计算π的功能中还包括许多通用库任意精度算术运算，例如CLN和MPFR。