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交换律

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一个表示加法( 3 + 2 = 2 + 3 )的交换律的例子

交换律(英语:Commutative property)是被普遍使用的一个数学名词,意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质,而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在,且没有给定其一特定的名称,直到19世纪,数学家开始形式化数学理论之后,交换律才得到正式的定义[1][2]

一般用法[编辑]

交换律是一个和二元运算函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立,则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。

群论集合论中,许多的代数结构被称做是可交换的,若其中的运算域满足交换律。在数学分析线性代数中,一些知名的运算(如实数及复数上的加法乘法)的交换律会经常被用于(或假定存在于)证明之中。[3][4][5]

数学定义[编辑]

“可交换”一词被使用于如下几个相关的概念中[6][7]

1. 在集合 的一二元运算 被称之为“可交换”的,若:

  • 一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。

2. 若称 下和 “可交换”,即表示:

3. 一二元函数被称之为“可交换”的,若:

.

历史[编辑]

对这一词第一个已知的应用是在1814年的一本法国期刊上

对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人乘法的交换律来简化乘积的计算。[8][9]且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。[10]对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初,那时数学家开始在研究函数的理论。今日,交换律已被普遍认知,且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。

第一个使用“可交换(commutative)”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记[11][12],这一词在笔记中被用来指有着现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。[11]

相关性质[编辑]

显示加法函数对称性的图

结合律[编辑]

结合律和交换律密切相关着。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地,交换律则是指算子的顺序不会影响其最终结果的性质。

对称[编辑]

对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数,则此一函数会对 这条线对称。举例来说,若设一函数 来表示加法(一可交换运算),所以 ,也因此 会是个如右图所见的对称函数。

例子[编辑]

日常生活中的可交换运算[编辑]

  • 洗一双鞋子可类比为一可交换运算,因为不论是左边的鞋子先洗,还是右边的鞋子先洗,最终的结果(两只鞋子都洗好)是一样的。
  • 成语“朝三暮四”也可看做是可交换运算的一个例子。

数学中的可交换运算[编辑]

显现出乘法 ( ) 的交换律的一个例子

两个广为人知的可交换二元运算的例子为[6]

例如, ,两个表示式都等于 9 。
例如, ,两者都等于 15 。

日常生活中的不可交换运算[编辑]

串接(将字串连在一起的行为)是个不可交换运算。
  • 洗衣和干衣可类比成不可交换运算,因为先干衣再洗衣和先洗衣再干衣两者会得出很不同的结果来。
  • 魔术方块是不可交换的。例如,将正面顺时针扭转,顶面顺时针扭转,再将正面逆时针扭转(FUF'),并不会得出如将正面顺时针扭转,再将正面逆时针扭转,最后再将顶面顺时针扭转(FF'U)一样的结果。扭转是不可交换的。这些扭转被研究于群论中。

数学中的不可交换运算[编辑]

一些不可交换二元运算[13]有:

  • 减法 ,不过可将其减法符号变换成加上其相反数,即可使用交换律。
  • 除法,可将除法变换成乘上其倒数以使用交换律。
  • 矩阵乘法:

数学结构与交换律[编辑]

注记[编辑]

  1. ^ Cabillón & MillerCommutative and Distributive
  2. ^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (编). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. 2011: 4 [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. (原始内容存档于2021-07-13). 
  3. ^ Axler, p.2
  4. ^ 4.0 4.1 Gallian, p.34
  5. ^ p. 26,87
  6. ^ 6.0 6.1 Krowne, p.1
  7. ^ Weisstein, Commute, p.1
  8. ^ Lumpkin, p.11
  9. ^ Gay and Shute, p.?
  10. ^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
  11. ^ 11.0 11.1 Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
  12. ^ O'Conner and Robertson, Servois
  13. ^ Yark, p.1
  14. ^ Gallian p.236
  15. ^ Gallian p.250
  16. ^ Gallian p.65

参考资料[编辑]

书籍[编辑]

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
  • Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8. 
Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

文章[编辑]

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
  • Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

线上资源[编辑]

另见[编辑]