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四角化菱形镶嵌

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四角化菱形镶嵌
四角化菱形镶嵌
欧几里得平面
类别半正镶嵌对偶
平面镶嵌
对偶多面体大斜方截半六边形镶嵌
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_f1 3 node_f1 6 node_f1 
施莱夫利符号dtr{6,3}
康威表示法dtrH
组成与布局
面的种类30-60-90三角形
面的布局
英语Face configuration
V4.6.12
对称性
对称群p6m, [6,3], (*632)
旋转对称群
英语Rotation_groups
p6, [6,3]+, (632)
特性
面可递
图像

大斜方截半六边形镶嵌
对偶多面体

几何学中,四角化菱形镶嵌(英语:Kisrhombille tiling)又称为六角化三角形镶嵌是一种平面镶嵌,其为半正镶嵌大斜方截半六边形镶嵌对偶镶嵌[1],整体由直角三角形拼合,密铺于欧几里得平面。四角化菱形镶嵌是在菱形镶嵌的每个菱形面从重心分割为四个全等的直角三角形所组成的镶嵌,其也可以视为将三角形镶嵌中的每一个正三角形从重心分割为六个全等的直角三角形所组成的镶嵌,其分割出来的三角形角度为30-60-90,其面的布局以符号V4.6.12表示形成的公共顶点有4个三角形、6个三角形和12个三角形的三种公共顶点。

结构

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康威称四角化菱形镶嵌为kisrhombille[2],其意为四角化菱形镶嵌,因为此镶嵌可以借由菱形镶嵌将每个面加入高为0的四角锥,即Kleetope变换,构成。该镶嵌有时被称为四角化六阶三菱形镶嵌(3-6 kisrhombille)或六角化六阶三角形镶嵌,从其他类似的双曲镶嵌分开来,如四角化七阶三菱形镶嵌(3-7 kisrhombille)即六角化七阶三角形镶嵌。它也可以视为将六边形镶嵌中的每一个正六边形从重心分割为12个全等的直角三角形所组成的镶嵌,即十二角化六边形镶嵌

对偶

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四角化菱形镶嵌的对偶镶嵌为每个顶点为1个正方形、1个六边形和1个十二边形公共顶点的大斜方截半六边形镶嵌

相关多面体与镶嵌

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三角化三角形镶嵌是大斜方截半六边形镶嵌的对偶镶嵌,而大斜方截半六边形镶嵌是正六边形镶嵌通过大斜方截半操作得到的半正镶嵌,其与正六边形镶嵌拥有相似的对称性:

正三角形镶嵌家族的半正镶嵌
对称性: [6,3], (*632) [6,3]+, (632) [1+,6,3], (*333) [6,3+], (3*3)
node_1 6 node 3 node  node_1 6 node_1 3 node  node 6 node_1 3 node  node 6 node_1 3 node_1  node 6 node 3 node_1  node_1 6 node 3 node_1  node_1 6 node_1 3 node_1  node_h 6 node_h 3 node_h  node_h 6 node 3 node  node 6 node_h 3 node_h 
{6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h{6,3} h1,2{6,3}
半正对偶
node_f1 6 node 3 node  node_f1 6 node_f1 3 node  node 6 node_f1 3 node  node 6 node_f1 3 node_f1  node 6 node 3 node_f1  node_f1 6 node 3 node_f1  node_f1 6 node_f1 3 node_f1  node_fh 6 node_fh 3 node_fh  node_fh 6 node 3 node  node 6 node_fh 3 node_fh 
V6.6.6 V3.12.12 V3.6.3.6 V6.6.6 V3.3.3.3.3.3 V3.4.12.4 V.4.6.12 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.3.3

四角化菱形镶嵌是一系列大斜方截半多面体或镶嵌的对偶之一,该系列从球面到平面一直延伸至双曲平面。他们皆具有通式为V4.6.2n面布局的拓扑结构,这个系列专用于每个顶点具有偶数形式,通过在从多面体一直延伸到无限面体,及平面,直到成为双曲镶嵌,终点是大斜方截半三阶无限边形镶嵌伪无限面体,pseudohedron)。

由于每个顶点皆为偶数个面的公共顶点,因此这厢多面体和镶嵌可以透过交替的两种颜色显示,使所有相邻面都有不同的颜色。

大斜方截半多面体和镶嵌系列:4.6.2n
对称性
*n32
[n,3]
球面 欧氏镶嵌 紧凑型双曲镶嵌 仿紧型镶嵌 非紧型镶嵌
*232
[2,3]
D3h
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
P6m
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
 
[iπ/λ,3]
 
考克斯特纪号英语Coxeter-Dynkin diagram
施莱夫利符号
node_1 2 node_1 3 node_1 
tr{2,3}
node_1 3 node_1 3 node_1 
tr{3,3}
node_1 4 node_1 3 node_1 
tr{4,3}
node_1 5 node_1 3 node_1 
tr{5,3}
node_1 6 node_1 3 node_1 
tr{6,3}
node_1 7 node_1 3 node_1 
tr{7,3}
node_1 8 node_1 3 node_1 
tr{8,3}
node_1 infin node_1 3 node_1 
tr{∞,3}
node_1 ultra node_1 3 node_1 
tr{iπ/λ,3}
大斜方截半
顶点布局
顶点图 4.6.4 4.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.12 4.6.14 4.6.16 4.6.∞ 4.6.∞
对偶顶点布局
考克斯特纪号英语Coxeter-Dynkin diagram node_f1 2 node_f1 3 node_f1  node_f1 3 node_f1 3 node_f1  node_f1 4 node_f1 3 node_f1  node_f1 5 node_f1 3 node_f1  node_f1 6 node_f1 3 node_f1  node_f1 7 node_f1 3 node_f1  node_f1 8 node_f1 3 node_f1  node_f1 infin node_f1 3 node_f1  node_f1 ultra node_f1 3 node_f1 
大斜方截半
对偶
面布局 V4.6.4 V4.6.6 V4.6.8 V4.6.10 V4.6.12 V4.6.14 V4.6.16 V4.6.∞ V4.6.∞

参见

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参考文献

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Dual tessellation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 存档副本. [2012-01-20]. (原始内容存档于2010-09-19).  (Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p288 table)
  1. Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p.58-65)
  2. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  p41