整除规则

整除是数学中两自然数间一种关系。自然数甲可被自然数乙整除，是指乙是甲的因数，且甲是乙的整数倍数，也就是甲除以乙没有余数。下面列出了十进制中判断整数除以另一整数的商为整数，且余数为零的一些规则。

基本判别

0：所有非0的整数之倍数。
±1：所有整数之因数。

可于最后几位判别

2和5都是10的因数，在十进制判别是否有 $2^{k}$ 或 $5^{k}$ 的因数只须取其最后k位，除以 $2^{k}$ 或 $5^{k}$ ，可除尽即是：

±2：所有偶数（0、2、4、6、8结尾）皆有此因数。如2、−6、989896、11111112、−454
±4：最后两位数可以被4除尽，即是。如9898989898540→40/4＝10
±8：若最后三位数可以被8除尽，即是。如8000、1256000、95872
±5：查看最后一位数。如果可以被5除尽（为0或5），即是。如5454545、45454500、50
±10：看最后一位数为0（即末两位为10的整倍数）即是。如530、73500、50
± $2^{n}$ ：最后n位数可以被 $2^{n}$ 除尽。
± $5^{n}$ ：最后n位数可以被 $5^{n}$ 除尽。
± $10^{n}$ ：最后n位数字都全部是0。

上面的性质亦可推广到求余数：
$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {2^{k}}}$
$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {5^{k}}}$
$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {10^{k}}}$

甚至非十进制下也是一样。例如十二进制：2、3、4、6都是12的因数，故某数的末k位除以 $2^{k}$ 、 $3^{k}$ 、 $4^{k}$ 、 $6^{k}$ ，所得余数与原数同余。

可由各数位判别

$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\pmod {3}}$

$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\pmod {9}}$

±3：所有位数加起来为3的倍数，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/3＝27/3＝9
±9：所有位数加起来为9的倍数，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/9＝27/9＝3

注意到我们现在是在十进制运算，而9＝10－1。对于任意 $p$ 进制的非负整数除法，当除数是 $p-1$ 时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。
证明：

如被除数为零，命题是平凡。
在任何 $p$ 进制，首先考虑仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数，该数可写成 $dp^{i}$ ，其中 $d$ 是最高位（第 $i$ 位）数字、 $1\leq d\leq p-1$ ，而 $p^{i}$ 表示后面有 $i$ 个零。（ $p$ 进制逢 $p$ 进一， $p$ 的 $i$ 次方自然是1后面 $i$ 个零。）
那么 ${\textstyle dp^{i}=dp^{i-1}p}$ ，除以 ${\textstyle p-1}$ 得 ${\textstyle {\frac {dp^{i-1}p}{p-1}}={\frac {dp^{i-1}(p-1)+dp^{i-1}}{p-1}}}$ ，前项显然整除，故 ${\textstyle dp^{i}=dp^{i-1}(p-1)+dp^{i-1}\equiv dp^{i-1}{\pmod {p-1}}}$ ，推论得 ${\textstyle dp^{i}\equiv dp^{0}=d{\pmod {p-1}}}$ 。
而任何 $p$ 进制正整数均可写成 $\sum _{i=0}^{n}d_{i}p^{i}$ 的形式，根据上面的结果，这个和（即是该数本身）显然与所有数字之和 $\sum _{i=0}^{n}d_{i}$ 同余。证毕。

$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {11}}$

±11：将其奇数位之和及偶数位之和相减，如果是0、11等11的倍数，即是。如19866→1＋8＋6－（9＋6）＝0

±7，±11，±13：设正整数 $a=\sum _{r=0}^{n}1000^{r}a_{r}$ ， $1001=7\times 11\times 13$ ，所以

a\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {7}},a\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {13}}

若a＝75312289，则a=75×1000²＋312×1000＋289，289－312＋75＝52，a能被13整除，不能被7和11整除。^[1]

合数判别

若某整数能整除某合数则某整数必同时整除所有某合数的质因数。

±6：同时符合±2（末位是0、2、4、6、8）和±3（相加可除尽）的条件（6＝2×3），如66、7986252、99999996
±12：同时符合±4和±3（相加可除尽）的条件（12＝ $2^{2}$ ×3），如60

连续割头法

$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv a_{0}+10\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}{\pmod {k}}$

±7：将个位前的数字乘以3再与个位数相加，得出7的倍数即7的倍数。如154→49→21→7
±13：将个位前的数字乘以3再与个位数相减，得出13的倍数即13的倍数。如156→39→0

$\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv a_{0}+10a_{1}+100\sum _{r=2}^{n}10^{r-2}a_{r}{\pmod {k}}$

±23：将十位前的数字乘以15再与末两位数相减，得出23的倍数即23的倍数。如207→23
±31：将十位前的数字乘以7再与末两位数相加，得出31的倍数即31的倍数。如155→62
±37：将十位前的数字乘以11再与末两位数相减，得出37的倍数即37的倍数。如333→0

连续割尾法

若 $\sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv 0{\pmod {k}}$ ，且 $10x\equiv 1{\pmod {k}}$

则 $a_{0}+10\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}\equiv xa_{0}+\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}\equiv 0{\pmod {k}}$

±7：将个位数乘以2再与个位前的数字相减，得出7的倍数即7的倍数。如154→7
±19：将个位数乘以2再与个位前的数字相加，得出19的倍数即19的倍数。如152→19

2到31的整除规则总表

整除数	整除规则	示例
2	末位是偶数（0、2、4、6、8）。	1294：末位4是偶数，能被2整除。
3	计算各位之和，其结果能被3整除。	405：4＋0＋5＝9，636：6＋3＋6＝15，两者都能被3整除。 16兆4992亿0585万4376：1＋6＋4＋9＋9＋2＋0＋5＋8＋5＋4＋3＋7＋6＝69→6＋9＝15→1＋5＝6，能被3整除。
3	分别统计1、4、7出现总数与2、5、8出现总数，两者之差能被3整除。	16兆4992亿0585万4376：数字1、4、7出现总数是4，数字2、5、8出现总数是4，4－4＝0，能被3整除。
4	末两位能被4整除。	40832：末两位32，能被4整除。
	十位数为偶数时，个位数为0、4、8。十位数为奇数时，个位数为2、6。	40832：十位数3是奇数，个位数为2，能被4整除。
	十位数乘2加个位数，其结果能被4整除。	40832：2×3＋2＝8，能被4整除。
5	末位是0、5。	495：末位是5，能被5整除。
6	能同时被2、3整除。	1458：1＋4＋5＋8＝18，能被3整除；末位数2是偶数，能被2整除，继而能被6整除。
7	每三位分组，从右往左每组交替加减，其结果能被7整除。	136万9851：851－369＋1＝483，能被7整除。
	从右往左每六位为一组，每组相加的结果能被7整除。	1649万8888：16＋498888＝498904，能被7整除。
	个位数乘2，并从其余位中减去，其结果能被7整除。	483：48－3×2＝42，能被7整除。
	个位数乘5，加到其余位中，其结果能被7整除。	483：48＋3×5＝63，能被7整除。
	最高位乘3，与次高位相加，替换掉头两位，其能被7整除。	483：4×3＋8＝20，将20替换掉48； 203：2×3＋0＝6，将6替换掉20；63：6×3＋3＝21，能被7整除。
	末两位加其余位乘以2，其结果能被7整除。	48万3595：4835×2＋95＝9765，97×2＋65＝259，2×2＋59＝63，能被7整除。
	从末位起由右至左依次乘1、3、2、−1、−3、−2（循环），相加的结果能被7整除。	48万3595：4×（−2）＋8×（−3）＋3×（−1）＋5×2＋9×3＋5×1＝7，能被7整除。
8	百位数是偶数时，末两位是个能被8整除的数字。	624：百位数6是偶数，末两位24，能被8整除。
	百位数是奇数时，末两位加4是个能被8整除的数字。	352：百位数3是奇数，末两位52＋4＝56，能被8整除。
	末位加其余位乘2，其结果能被8整除。	56：5×2＋6＝16，能被8整除。
	末三位能被8整除。	34152：末三位152能被8整除。
	百位乘4加十位乘2加个位，其结果能被8整除。	34152：1×4＋5×2＋2＝16，能被8整除。
9	计算各位之和，其结果能被9整除。	2880：2＋8＋8＋0＝18：1＋8＝9，能被9整除。
10	末位是0。	130：末位是0，能被10整除。
11	从高位到低位交错加减，其结果能被11整除。	91万8082：9－1＋8－0＋8－2＝22，能被11整除。
	从右往左每两位为一组，每组相加的结果能被11整除。	627：6＋27＝33，能被11整除。 50215：5＋02＋15＝22，能被11整除。
	末位被其余位减去，其结果能被11整除。	627：62－7＝55，能被11整除。
	将个位数加到百位中，其结果能被11整除。	627：62＋70＝132：13＋20＝33，能被11整除。
	该数为偶数位数时，首位减末位，加到其余位，其结果能被11整除。	91万8082（六位数）：1808＋（9－2）＝1815，81＋1－5＝77，能被11整除。
	该数为奇数位数时，首位加末位，从其余位中减去，其结果能被11整除。	14179（五位数）：417－（1＋9）＝407，0－（4＋7）＝−11，能被11整除。
12	能同时被3、4整除。	288：能同时被3、4整除，继而能被12整除。
12	将末位从其余位乘2中减去，其结果能被12整除。	288：28×2－8＝48，能被12整除。
13	每三位分组，从右往左每组交替加减，其结果能被13整除。	291万1272：2－911＋272＝−637，能被13整除。
	从右往左每六位为一组，每组相加的结果能被13整除。	1亿6148万0059：161＋480059＝480220，能被13整除。
	末位乘4，加到其余位中，其结果能被13整除。	637：63＋7×4＝91，9＋1×4＝13，能被13整除。
	将末两位从其余位乘4中减去，其结果能被13整除。	923：9×4－23＝13，能被13整除。
	末位乘9，从其余位中减去，其结果能被13整除。	637：63－7×9＝0，能被13整除。
14	能同时被2、7整除。	224：能同时被2、7整除，继而能被14整除。
14	末两位与其余位乘2相加，其结果能被14整除。	364：3×2＋64＝70 1764：17×2＋64＝98，两者都能被14整除。
15	能同时被3、5整除。	390：能同时被3、5整除，继而能被15整除。
16	千位数是偶数时，末三位能被16整除。	25万4176：千位数4是偶数，末三位176，能被16整除。
	千位数是奇数时，末三位加8能被16整除。	3408：千位数3是奇数，末三位408＋8＝416，能被16整除。
	末两位与其余位乘4相加，其结果能被16整除。	176：1×4＋76＝80， 1168：11×4＋68＝112，两者都能被16整除。
	末四位能被16整除。	15万7648：末四位7648能被16整除。
17	末位乘5，从其余位中减去，其结果能被17整除。	221：22－1×5＝17，能被17整除。
	将末两位从其余位乘2中减去，其结果能被17整除。	4675：46×2－75＝17，能被17整除。
	从右往左每八位为一组，从右往左每组交替加减，其结果能被17整除。	1亿1725万0581：17250581－1＝17250580，能被17整除。
18	能同时被2、9整除。	342：能同时被2、9整除，继而能被18整除。
19	末位乘2，加到其余位中，其结果能被19整除。	437：43＋7×2＝57，能被19整除。
	末两位乘4，加到其余位中，其结果能被19整除。	6935：69＋35×4＝209，能被19整除。
	从右往左每九位为一组，从右往左每组交替加减，其结果能被19整除。	11亿7225万0581：172250581－1＝172250580，能被19整除。
20	末位是0，次末位是偶数。	360：末位是0，次末位6是偶数，能被20整除。
20	末两位能被20整除。	480：末两位80，能被20整除。
21	末位乘2，从其余位中减去，其结果能被21整除。	168：16－8×2＝0，能被21整除。
21	能同时被3、7整除。	231：能同时被3、7整除，继而能被21整除。
22	能同时被2、11整除。	352：能同时被2、11整除，继而能被22整除。
23	末位乘7，加到其余位中，其结果能被23整除。	3128：312＋8×7＝368，36＋8×7＝92，能被23整除。
	末两位乘3，加到其余位中，其结果能被23整除。	1725：17＋25×3＝92，能被23整除。
	末三位乘2，与其余位相减，其结果能被23整除。	13万7931：931×2＝1862，1862－137＝1725，能被23整除。
24	能同时被3、8整除。	864：能同时被3、8整除，继而能被24整除。
25	末两位是能被25整除的数（00、25、50、75）	13万4250：末两位50，能被25整除。
26	能同时被2、13整除。	156：能同时被2、13整除，继而能被26整除。
27	每三位分组，各组相加，其结果能被27整除。	264万4272：2＋644＋272＝918，能被27整除。
	末位乘8，从其余位中减去，其结果能被27整除。	621：62－1×8＝54，能被27整除。
	将末两位从其余位乘8中减去，其结果能被27整除。	6507：65×8－7＝520－7＝513，能被27整除。
28	能同时被4、7整除。	140：能同时被4、7整除，继而能被28整除。
29	末位乘3，加到其余位中，其结果能被29整除。	493：49＋3×3＝58，能被29整除。
	末两位乘9，加到其余位中，其结果能被29整除。	5510：55＋10×9＝145，能被29整除。
	末三位乘2，与其余位相减，其结果能被29整除。	17万3913：913×2＝1826，1826－173＝1653，能被29整除。
30	末位是0，次各位之和能被3整除。	270：能同时被3、10整除，继而能被30整除。
31	末位乘3，从其余位中减去，其结果能被31整除。	341：34－1×3＝31，能被31整除。

参见

参考资料

^ 闵嗣鹤严士健. 初等数论(第三版). 高等教育出版社. : 第51–52页. ISBN 978-7-04-011874-2.

[1] 闵嗣鹤严士健. 初等数论(第三版). 高等教育出版社. : 第51–52页. ISBN 978-7-04-011874-2.

[1]