拋物線座標系

拋物線坐標系的綠色的 $\sigma$ 等值曲線和紅色的 $\tau$ 等值曲線。橫軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。

拋物線坐標系（英語：Parabolic coordinates）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。

實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（Stark effect），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。

二維拋物線坐標系

直角坐標 $(x,\ y)$ 可以用二維拋物線坐標 $(\sigma ,\ \tau )$ 表示為

$x=\pm \,\sigma \tau$ 、

$y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$ ；

其中，$\sigma \geq 0$ ，$\tau \geq 0$ 。

反算回來，二維拋物線坐標 $(\sigma ,\ \tau )$ 可以用直角坐標 $(x,\ y)$ 表示為

$\sigma ={\sqrt {-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$ 、

$\tau ={\sqrt {y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$ 。

坐標 $\sigma$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y-軸）拋物線：

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$ ，

而坐標 $\tau$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y-軸）拋物線：

$2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$ 。

這些拋物線的焦點的位置都在原點。

二維標度因子

拋物線坐標 $(\sigma ,\ \tau )$ 的標度因子相等：

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$ 。

因此，面積的無窮小元素是

$dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ， $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用 $(\sigma ,\ \tau )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。

三維拋物線坐標系

三維拋物線坐標的坐標曲面。紅色的拋物曲面的坐標 $\tau =2$ 。藍色的拋物曲面的坐標 $\sigma =1$ 。黃色的半平面的坐標 $\phi =-60^{\circ }$ 。三個面相交於點 $\mathbf {P} =(1.0,-1.732,1.5)$ （以黑色小球表示）。

將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 可以用三維拋物線坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 表示為

$x=\sigma \tau \cos \phi$ 、

$y=\sigma \tau \sin \phi$ 、

$z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$ ；

其中，$\sigma \geq 0$ ，$\tau \geq 0$ ，方位角 $\phi$ 定義為

$\tan \phi ={\frac {y}{x}},\qquad 0\leq \phi \leq 2\pi$ 。

反算回來，三維拋物線坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 可以用直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 表示為

$\sigma ={\sqrt {-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}$ 、

$\tau ={\sqrt {z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}$ 、

$\phi =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}$ 。

每一個 $\sigma$-坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）拋物曲面：

$2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$ ，

而每一個 $\tau$>-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）拋物曲面：

$2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$ 。

這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。

三維標度因子

三維標度因子為：

$h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$ 、

$h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$ 、

$h_{\phi }=\sigma \tau \,$ 。

我們可以觀察出，標度因子 $h_{\sigma }$ ， $h_{\tau }$ 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是

$dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\phi }=\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ， $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。

第二種表述

另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於哈密頓-亞可比方程式。假若使用此種表述的公式，則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性．

採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式：

$\eta ={-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ 、

$\xi ={z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ 、

$\phi =\arctan {y \over x}$ 。

假若 $\phi =0$ ，則可得到一片截面；其坐標被限制於 $x\geq 0$ 的 +xz-半平面：

$\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}$ 、

$\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}$ 。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 $\eta$ 是一個常數，$\eta =c$ ，則

$\left.z\right|_{\eta =c}={x^{2} \over 2c}-{c \over 2}$ 。

這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向上。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 $\xi$ 是一個常數，$\xi =b$ ，則

$\left.z\right|_{\xi =b}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b}$ 。

這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向下。

思考任何一條向上的拋物線 $\eta =c$ 與任何一條向下的拋物線 $\xi =b$ ，我們想要求得兩條曲線的相交點：

${x^{2} \over 2c}-{c \over 2}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b}$ 。

稍微計算，可得

$x={\sqrt {bc}}$ 。

將相交點的橫坐標 $x$ 代入向上的拋物線的公式，

$z_{c}={bc \over 2c}-{c \over 2}={b-c \over 2}$ 。

所以，相交點 P 坐標為 $\left({\sqrt {bc}},\ {b-c \over 2}\right)$ 。

思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為

${\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\sqrt {\frac {b}{c}}}=s_{c}$ 。

向下的拋物線的切線的斜率為

${dz_{b} \over dx}=-{x \over b}=-{\sqrt {c \over b}}=s_{b}$ 。

兩個斜率的乘積為

$s_{c}s_{b}=-1$ 。

所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。

假設 $\phi \neq 0$ 。讓 $\phi$ 值從 $0$ 緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 $\phi$ 值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是：

$x={\sqrt {\eta \xi }}\ \cos \phi$ 、

$y={\sqrt {\eta \xi }}\ \sin \phi$ 、

$z={\frac {1}{2}}(\xi -\eta )$ 。

參考文獻

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 660. ISBN 0-07-043316-X.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 185–186.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 180.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 96.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)

• Moon P, Spencer DE. Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0387184302.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)