數學上,特別是在代數拓撲和微分幾何中,陳類(英語:Chern class,或稱陳氏類)是一類復向量叢的示性類,類比於斯蒂弗爾-惠特尼類作為實向量叢的示性類。
陳類因陳省身而得名,他在1940年代第一個給出了它們的一般定義。
給定一個拓撲空間X上的一個復向量叢E, E的陳類是一系列X的上同調的元素。E的第k個陳類通常記為ck(E),是X的整數係數的上同調群H2k(X;Z)中的一個元素,並且滿足如下公理:
公理1. 對於任何
公理2. 自然性:如果
是一個復向量叢,
是一個連續映射,
是拉回的向量叢,那麼對任意k,
公理3. 惠特尼求和公式:如果
是兩個復向量叢,那麼它們的直和
的陳類是
公理4. 如果
是復射影直線上的超平面叢,那麼
的龐加萊對偶是
任何陳類的積分是一個整數,叫陳數,有時候給卷繞數。
在物理學中,陳數有很多應用。例如第一陳數
描述阿哈羅諾夫-玻姆效應。第二陳數描述一種流形邊界的陳-西蒙斯理論:
在物理學中,這有時候被叫做theta term,描述Witten效應、瞬子(第三同倫類)、軸子、Dyon等等。
其中的YM是楊-米爾斯的作用量。
陳-西蒙斯形式跟陳類有關:
若F是曲率形式,陳示性是
而且
比方說,若V是U(1)主叢(阿貝爾規範)
同時,有很多處理這個定義的辦法:陳省身最初使用了微分幾何;在代數拓撲中,陳類是通過同倫理論定義的,該理論提供了把E和一個分類空間(在這個情況下是格拉斯曼流形聯繫起來的映射);還有亞歷山大·格羅滕迪克的一種辦法,表明公理上只需定義線叢的情況就夠了。陳類也自然的出現在代數幾何中。
直觀地說,陳類和向量叢的截面"所需要的0"的個數相關。
陳類的理論導致了殆複流形的配邊不變量的研究。
若M是一個複流形,則其切叢是一個復向量叢。M的陳類定義為其切叢的陳類。若M是緊的2d維的,則每個陳類中的2d次單項式可以和M的基本類配對,得到一個整數,稱為M的。
若M′是另一個同維度的近複流形,則它和M配邊,當且僅當M′和M陳數相同.
陳類理論有個一般化,其中普通的上同調由一個廣義上同調群理論所代替。使得這種一般化成為可能的稱為復可定向的理論。陳類的形式化屬性依然相同,但有一個關鍵的不同:計算線叢的張量積的第一陳類的規則不是各個因子的(普通)加法而是一個形式化群法則(formal group law)。
物理學
- Chern, Shiing-Shen, Characteristic classes of Hermitian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series, 1946, 47: 85–121, ISSN 0003-486X, MR0015793
- Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
- Chern, Shiing-Shen Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.