數學中,浸沒(submersion)是微分流形之間的可微映射,其微分處處為滿射。這是微分拓撲中的一個基本概念。浸沒與浸入對偶。
令M、N是微分流形,
是它們間的可微映射。映射f是點
處的浸沒,若其微分
![{\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2caecff3e4f88fe82202790564ba33aee1cf150)
是線性滿射。[1]這種情況下,p被稱作映射f的正則點(regular point);否則,p就是臨界點。若原像
中所有的點p都是正則點,則點
是f的正則值。在每點
上都是浸沒的可微映射f也稱作浸沒,等價地,若f的微分
的秩等於N的維度,則f是浸沒。
需要注意:有人用「臨界點」描述f的雅可比矩陣的秩不取最大值的點。[2]這在奇異理論中是更有用的概念。若M的維度不小於N的維度,則這兩個臨界點的概念是重合的;但若M的維度小於N的維度,則據上述定義,所有點都是臨界點(微分不可能是滿射),而雅可比矩陣的秩仍可能是最大的(若等於M的維度)。上述定義更常用,如在薩德定理的表述中。
給定m維、n維光滑流形之間的浸沒
,
,有圍繞x的M的滿射圖(chart)
、圍繞
的N的
,使得f限制到浸沒
,用坐標表示為
,就變為普通的正交投影。應用中,
,f對應的纖維表示為
,可配備M的光滑子流形結構,其維度等於N與M維度之差。
該定理是反函數定理的結果(見反函數定理#流形)。
例如,考慮
由
給出。雅各比矩陣是
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d46b4478ce6d4578936ac5a817ad480ecabc7d)
除原點外,這在每一點都有最大秩。另外,纖維
![{\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbe04e374c939c027daf3a89668cde63495cb5d)
在
時是空集,
時等於一個點。因此,我們只有一個光滑浸沒
與子集
是
時的2維光滑流形。
- 任何投影
![{\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1d47941ae77186c71357938e772a022a2436e1)
- 局部微分同胚
- 黎曼浸沒
- 光滑向量叢或更一般的光滑纖維化中的投影。微分的滿射性是局部平凡化存在的必要條件。
浸沒的一大類例子是高維球面之間的浸沒,例如
![{\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0f2184288d289013bb8985d1630832dc63c040)
其纖維維度為n,這是因為纖維(元素
的反像)是n維光滑流形。那麼,若取路徑
![{\displaystyle \gamma :I\to S^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adab2be792b55cb9a8a066f8ee66e9f84fa71681)
並取拉回
![{\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eded76f1148d357cd39bb9d6b26a190274c12041)
就得到了一種特殊的協邊的例子,稱作有框架協邊。實際上,有框協邊群
與穩定同倫群密切相關。
另一大類浸沒由代數簇
給出,其纖維是光滑代數簇。若考慮其底流形,則得到光滑流形。例如橢圓曲線的魏爾施特拉斯族
是被廣泛研究的浸沒,因為其包含了許多用於展示更複雜理論的技術,如交同調與錯致層。這一族來自
![{\displaystyle {\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e7c90838029b5e7b4307b4dd78e09f1f577bcb)
其中
是仿射線,
是仿射平面。由於考慮的是復簇,它們等價於複線與複平面
。注意我們實際上應該去掉
,因為那裏有奇點(有雙根)。
若
是p處的浸沒,
,則在M中存在p的開鄰域U、在N中存在q的開鄰域V,在p處有局部坐標
,在q處有局部坐標
,使得
,且在這些局部坐標中的映射f是標準投影
![{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e9d5ac32fd7c7282b7acc5d9e10a49f1a4cb0d)
可知,在可微映射
的作用下,N中的正則值q在M中的全原像
要麼是空的,要麼是
維微分流形,但可能不連通。這是正則值定理的內容(也叫浸沒定理)。尤其是,若f是浸沒,則
,結論都成立。
一般拓撲流形的浸沒也是良定義的。[3]拓撲流形浸沒是連續滿射
,使得
,對p上的某連續圖ψ、f(p)處的φ,映射
等於射影映射
(
)。
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