数学中,浸没(submersion)是微分流形之间的可微映射,其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。
令M、N是微分流形,
是它们间的可微映射。映射f是点
处的浸没,若其微分
![{\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2caecff3e4f88fe82202790564ba33aee1cf150)
是线性满射。[1]这种情况下,p被称作映射f的正则点(regular point);否则,p就是临界点。若原像
中所有的点p都是正则点,则点
是f的正则值。在每点
上都是浸没的可微映射f也称作浸没,等价地,若f的微分
的秩等于N的维度,则f是浸没。
需要注意:有人用“临界点”描述f的雅可比矩阵的秩不取最大值的点。[2]这在奇异理论中是更有用的概念。若M的维度不小于N的维度,则这两个临界点的概念是重合的;但若M的维度小于N的维度,则据上述定义,所有点都是临界点(微分不可能是满射),而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的(若等于M的维度)。上述定义更常用,如在萨德定理的表述中。
浸没定理[编辑]
给定m维、n维光滑流形之间的浸没
,
,有围绕x的M的满射图(chart)
、围绕
的N的
,使得f限制到浸没
,用坐标表示为
,就变为普通的正交投影。应用中,
,f对应的纤维表示为
,可配备M的光滑子流形结构,其维度等于N与M维度之差。
该定理是反函数定理的结果(见反函数定理#流形)。
例如,考虑
由
给出。雅各比矩阵是
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d46b4478ce6d4578936ac5a817ad480ecabc7d)
除原点外,这在每一点都有最大秩。另外,纤维
![{\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbe04e374c939c027daf3a89668cde63495cb5d)
在
时是空集,
时等于一个点。因此,我们只有一个光滑浸没
与子集
是
时的2维光滑流形。
- 任何投影
![{\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1d47941ae77186c71357938e772a022a2436e1)
- 局部微分同胚
- 黎曼浸没
- 光滑向量丛或更一般的光滑纤维化中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。
球面之间的映射[编辑]
浸没的一大类例子是高维球面之间的浸没,例如
![{\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0f2184288d289013bb8985d1630832dc63c040)
其纤维维度为n,这是因为纤维(元素
的反像)是n维光滑流形。那么,若取路径
![{\displaystyle \gamma :I\to S^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adab2be792b55cb9a8a066f8ee66e9f84fa71681)
并取拉回
![{\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eded76f1148d357cd39bb9d6b26a190274c12041)
就得到了一种特殊的协边的例子,称作有框架协边。实际上,有框协边群
与稳定同伦群密切相关。
代数簇族[编辑]
另一大类浸没由代数簇
给出,其纤维是光滑代数簇。若考虑其底流形,则得到光滑流形。例如椭圆曲线的魏尔施特拉斯族
是被广泛研究的浸没,因为其包含了许多用于展示更复杂理论的技术,如交同调与错致层。这一族来自
![{\displaystyle {\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e7c90838029b5e7b4307b4dd78e09f1f577bcb)
其中
是仿射线,
是仿射平面。由于考虑的是复簇,它们等价于复线与复平面
。注意我们实际上应该去掉
,因为那里有奇点(有双根)。
局部正规形式[编辑]
若
是p处的浸没,
,则在M中存在p的开邻域U、在N中存在q的开邻域V,在p处有局部坐标
,在q处有局部坐标
,使得
,且在这些局部坐标中的映射f是标准投影
![{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e9d5ac32fd7c7282b7acc5d9e10a49f1a4cb0d)
可知,在可微映射
的作用下,N中的正则值q在M中的全原像
要么是空的,要么是
维微分流形,但可能不连通。这是正则值定理的内容(也叫浸没定理)。尤其是,若f是浸没,则
,结论都成立。
拓扑流形的浸没[编辑]
一般拓扑流形的浸没也是良定义的。[3]拓扑流形浸没是连续满射
,使得
,对p上的某连续图ψ、f(p)处的φ,映射
等于射影映射
(
)。
参考文献[编辑]
- Arnold, Vladimir I.; Gusein-Zade, Sabir M.; Varchenko, Alexander N. Singularities of Differentiable Maps: Volume 1. Birkhäuser. 1985. ISBN 0-8176-3187-9.
- Bruce, James W.; Giblin, Peter J. Curves and Singularities. Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-42999-4. MR 0774048.
- Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward. Applicable differential geometry
. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-23190-9.
- do Carmo, Manfredo Perdigao. Riemannian Geometry. 1994. ISBN 978-0-8176-3490-2.
- Frankel, Theodore. The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-38753-1. MR 1481707.
- Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques. Riemannian Geometry 3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-3-540-20493-0.
- Kosinski, Antoni Albert. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. 2007 [1993]. ISBN 978-0-486-46244-8.
- Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.
- Sternberg, Shlomo Zvi. Curvature in Mathematics and Physics. Mineola, New York: Dover Publications. 2012. ISBN 978-0-486-47855-5.
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