完備空間

完備空間，或稱完備度量空間（英語：Complete metric space）是具有下述性質的一種度量空間：空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內。 ^[1]^[2]

例子

有理數空間不是完備的，因為 ${\sqrt {2}}$ 的有限位小數表示是一個柯西序列，但是其極限 ${\sqrt {2}}$ 不在有理數空間內。
實數空間是完備的
開區間(0,1)不是完備的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收斂於(0, 1)中任何的點。
令S為任一集合，S^N為S中的所有序列。如下定義S^N上任意兩個序列(x_n)和(y_n)的距離：如果存在某個最小的N，使 $x_{N}\neq y_{N}$ ，那麼定義距離為1/N；否則（所有的對應項都相等）距離為0。按此方式定義的度量空間是完備的。該空間同胚於離散空間S的可數個副本的積。

完備化

定義

對任一度量空間M，我們可以構造相應的完備度量空間M' （或者表示為 ${\bar {M}}$ ），使得原度量空間成為新的完備度量空間的稠密子空間。M' 具備以下普適性質：若N為任一完備度量空間，f為任一從M到N的一致連續函數，則存在唯一的從M' 到N的一致連續函數f' 使得該函數為f的擴展。新構造的完備度量空間M' 在等距同構意義下由該性質所唯一決定，稱為M的完備化空間。

以上定義是基於M是M'的稠密子空間的概念。我們還可以將完備化空間定義為包含M的最小完備度量空間。可以證明，這樣定義的完備化空間存在，唯一（在等距同構意義下），且與上述定義等價。

對於交換環及於其上的模，同樣可以定義相對於一個理想的完備性及完備化。詳見條目完備化 (環論)。

構造

類似於從有理數域出發定義無理數的方法，我們可以通過柯西序列給原空間添加元素使其完備。

對M中的任意兩個柯西序列x=(x_n)和y=(y_n)，我們可以定義它們間的距離： d(x,y) = lim_n d(x_n,y_n)（實數域完備所以該極限存在）。按此方式定義的度量還只是偽度量，這是因為不同的柯西序列均可收斂到0。但我們可以象很多情況中所做的一樣（比如從L^p到 ${\mathcal {L}}^{p}$ ），將新的度量空間定義為所有柯西序列的集合上的等價類的集合，其中等價類是基於距離為0的關係（易於驗證該關係是等價關係）。這樣，令ξ_x = {y是M上的柯西序列： $y_{n}\rightarrow x$ }，M' ={ξ_x：x ∈ M}，原空間M就以x $\rightarrow$ ξ_x的映射方式嵌入到新的完備度量空間M' 中。易於驗證，M等距同構於M' 的稠密子空間。

康托法構造實數是該完備化方法的一個特例：實數域是有理數域作為以通常的差的絕對值為距離的度量空間的完備化空間。

性質

康托爾的實數建構是上述構造的特例；此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值，得到的完備空間則為p進數。

若將上述流程施於賦範向量空間，可得到一個巴拿赫空間，原空間是其中的稠密子空間。若施於一個內積空間，得到的則是希爾伯特空間，原空間依然是其稠密子空間。

參見

數學分析術語

參考資料

^ 張恭慶; 林源渠. 泛函分析讲义. 北京大學出版社. 1987. ISBN 978-7-301-00489-0.
^ Sutherland, Wilson A. Introduction to Metric and Topological Spaces. 1975. ISBN 978-0-19-853161-6.

Tsolomitis, Yuli Eidelman ; Vitali Milman ; Antonis. Functional analysis an introduction. Providence, RI: American Mathematical Soc. 2004. ISBN 9780821836460.

[张恭庆，林源渠-1] 張恭慶; 林源渠. 泛函分析讲义. 北京大學出版社. 1987. ISBN 978-7-301-00489-0.

[2] Sutherland, Wilson A. Introduction to Metric and Topological Spaces. 1975. ISBN 978-0-19-853161-6.

[1]

[2]

完備空間

例子

相關定理

完備化

定義

構造

性質

相關概念

參見

參考資料