推出 (範疇論)

在範疇論中，一個數學領域， 推出（也稱為纖維餘積、纖維和、共合和或餘笛卡爾方塊）是由具有公共定義域的兩個態射 f : Z → X 與 g : Z → Y 組成的圖表的餘極限。

推出是拉回的範疇對偶。

泛性質

明確地說，態射 f 與 g 的推出由一個對象 P 和兩個態射 i₁ : X → P 與 i₂ : Y → P 組成，使得圖表交換：

並且，推出 (P, i₁, i₂) 關於這個圖表必須是通用的。這就是說，任何其它這樣的三元組 (Q, j₁, j₂)，一定存在一個惟一的 u : P → Q 使得如下圖表交換：

推出的泛性質

和所有泛構造一樣，推出如果存在，則在差一個同構態射的意義下是惟一的。

例子

這裏有一些類似範疇中推出的例子。以下每種情形只構造推出同構類中的一個對象；如上所述，可能有其它構造方法，但是它們都是等價的。

1. 假設 X 和 Y 是集合。如果記它們的交為 Z，則由包含給出態射 f : Z → X 與 g : Z → Y 。f 與 g 的推出是 X 與 Y 的併集附加從X 和 Y的包含態射。
2. 黏着空間的構造是拓撲空間範疇中的推出。更準確地說，如果 Z 是 Y 的子空間且 g : Z → Y 是包含映射，可以將 Y 利用「黏貼映射」 f : Z →X 沿着 Z 「黏貼」到另一個空間 X。黏貼空間 $X\cup _{f}Y$ 恰好是 f 與 g 的推出。更一般地，所有黏着空間都可以這樣視為推出。
3. 上面的一個特例是楔和或一點並；這裏取 X 與 Y 為帶基點的空間而 Z 為 1 點空間。那麼將 X 與 Y 的基點黏合起來得到的空間，便是推出 $X\vee Y$。
4. 在阿貝爾群範疇中，推出可以想像為「黏合直和」，以這種方式將黏着空間視為「黏合不交並」。零群是任何群的子群，所以對任何阿貝爾群 A 與 B，有同態 f : 0 → A 以及 g : 0 → B。這兩個映射的推出是 A 與 B 的直和。把這種情形推廣為 f 與 g 是任何有公共定義域的同態，則得到直和的一個商群，即模去由 (f(z),-g(z)) 組成的子群。從而將 Z 的通過 f 和 g 黏合起來了。一個類似的技巧得出任何 R-模範疇中的同構。
5. 在群範疇，推出稱為共合自由積。下面在代數拓撲的塞弗特－范坎彭（Seifert-van Kampen）定理中展示出來。

性質

• 只要 A∪_CB 和 B∪_CA存在，則存在同構態射A∪_CB ≅ B∪_CA。
• 只要推出 A∪_AB 存在，則存在同構態射 B ≅ A∪_AB （這由推出的泛性質得出）。

通過餘積和餘等化子構造

上述所有例子都可以看成下面非常一般的構造的特例，這對只要餘積和餘等化子存在的任何範疇 C 都可行：

• 對任何 C 中的對象 A 和 B，它們的餘積在 C 中存在；
• 對 C 中的任何具有相同定義域和靶的態射 j 與 k，j 與 k 的餘等化子在 C 中存在。

分兩步，先構造靶 X 與 Y 的餘積。得到從 Z 到這個餘積的兩個態射：從 Z 通過 f 到 X，然後包含到餘積；或者從 Z 通過 g 到 Y，再包含到餘積。f 與 g 的推出便是這兩個新態射的餘等化子。

應用：塞弗特－范坎彭定理

回到拓撲，塞弗特－范坎彭定理回答了如下問題。假設我們有一個連通空間 X，被兩個連通開空間 A 與 B 覆蓋，它們的交 D 也是連通的（假設基點 * 在 A 的交中）。如果知道 A , B 與 D 的基本群，我們可以求出 X 的基本群嗎？答案是肯定的。

假設我們也知道包含同態 $\pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(A,*)$ 與 $\pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(B,*).$ 定理說空間 X 的基本群是這兩個包含映射的推出。當然，X 是 D 到 A 與 B 的兩個包含映射的推出。從而我們可以將這個定理更深刻地理解為基本群函子保持包含推出的基本群。我們可能預計當 D 是單連通時最簡單，因為兩個上面同態的定義域都是平凡群。事實上確實如此，因為此時群的推出退化成自由積，即群範疇中的餘積。在更一般的情形我們可以說是帶共合的自由積。

下面所列 J. P. May 的書中，在稍一般情形（覆蓋群胚）給出了詳細地說明。

參考文獻

• May, J. P. A concise course in algebraic topology. University of Chicago Press, 1999. This book is an excellent introduction to the categorical way of thinking (for the topologically savvy).

參閲

• 前推 (微分)

外部連結

• Interactive Web page 包含一些在有限集合範疇中的推出的例子。由 Jocelyn Paine 著。