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第二基本形式

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微分幾何中,第二基本形式second fundamental form)是三維歐幾里得空間中一個光滑曲面的切叢上一個二次形式,通常記作 II。與第一基本形式一起,他們可定義曲面的外部不變量,主曲率。更一般地,若在黎曼流形中或洛倫茲流形中,的一個光滑超曲面上,選取了一個光滑單位法向量場,則可定義這樣一個二形式。

R3 中曲面

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引論

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R3 中一個參數曲面 S 的第二基本形式由高斯引入。最先假設曲面是兩次連續可微函數的像,z = f(x,y),且平面 z = 0 與曲面在原點相切。則 f 以及關於 xy偏導數在 (0,0) 皆為零。從而 f 在 (0,0) 處的泰勒展開以二次項開始:

, 則在 (x, y) 坐標中原點處的第二基本形式是二次型:

對 參數曲面S 上一個光滑點 p,總可以選取坐標系使得坐標的 z-平面與 S 切於 p,然後可以相同的方式定義第二基本形式。

經典記號

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一個一般參數曲面的第二基本形式定義如下。設 r=r(u,v) 是 R3 中一個正則參數曲面,這裏 r 是兩個變量的光滑向量值函數。通常記 r 關於 uv 的偏導數為 rurv。參數化的正則性意味着 rurvr 的定義域中任何 (u,v) 是線性無關的。等價地,叉積 ru × rv 是曲面的一個非零法向量。參數化這樣就定義了一個單位法向量場 n(u,v):

第二基本形式通常寫成

在基 {ru, rv} 下的矩陣是

在參數化 uv-平面上一個給定點處係數 L, M, Nr 在那個點的二次偏導數到 S 的法線上投影給出,利用點積可計算如下:

現代記法

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一個通常曲面 S 的第二基本形式定義如下:設 r=r(u1,u2) 是 R3 中一個正則參數曲面,這裏 r 是兩個變量的光滑向量值函數。通常記 r 關於 uα 的偏導數為 rα,α = 1,2。參數化的正則性意味着 r1r2r 的定義域上是線性無關的,從而在每一點張成 S 的切空間。等價地,叉積 r1 × r2 是曲面的一個非零法向量。這樣參數化定義了一個單位法向量場 n

第二基本形式通常寫作

上式使用了愛因斯坦求和約定

在參數 (u1, u2)-曲面給定點處係數 bαβr 的二次偏導數到 S 的法線的投影給出,利用點積可寫成:

黎曼流形中的超曲面

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歐幾里得空間中,第二基本形式由

給出,這裏 高斯映射,而 微分視為一個向量值微分形式,括號表示歐幾里得空間的度量張量

更一般地,在一個黎曼流形上,第二基本形式是描述一個超曲面形算子(記作 S)的等價方法,

這裏 表示周圍空間的共變導數n 超曲面上一個法向量場。如果仿射聯絡無撓的,則第二基本形式是對稱的。

第二基本形式的符號取決於 n 的方向的選取。(這稱為曲面的余定向,對歐幾里得空間中的曲面,等價於給定曲面的一個定向)。

推廣為任意餘維數

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第二基本形式可以推廣到任意餘維數。在這種情形下,它是切空間上取值於法叢的一個二次型,可以定義為

這裏 表示共變導數 到法叢的正交投影。

歐幾里得空間中,子流形曲率張量可以描述為下列公式:

這叫做高斯方程,可以視為高斯絕妙定理的推廣。在一個標準正交基中第二基本形式的本徵值,是曲面的主曲率。一組正交規範本徵向量稱為主方向

對一般的黎曼流形必須添加周圍空間的曲率;如果 N 是嵌入黎曼流形 (M,g) 中一個流形,則 N 在誘導度量下的曲率張量 可以用第二基本形式與 M 的曲率張量 表示出來:

相關條目

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參考文獻

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  • Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7. 
  • Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325. 
  • Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1. 

外部連結

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