微分幾何中,第二基本形式(second fundamental form)是三維歐幾里得空間中一個光滑曲面的切叢上一個二次形式,通常記作 II。與第一基本形式一起,他們可定義曲面的外部不變量,主曲率。更一般地,若在黎曼流形中或洛倫茲流形中,的一個光滑超曲面上,選取了一個光滑單位法向量場,則可定義這樣一個二形式。
R3 中一個參數曲面 S 的第二基本形式由高斯引入。最先假設曲面是兩次連續可微函數的像,z = f(x,y),且平面 z = 0 與曲面在原點相切。則 f 以及關於 x 和 y 的偏導數在 (0,0) 皆為零。從而 f 在 (0,0) 處的泰勒展開以二次項開始:
,
記
, 則在 (x, y) 坐標中原點處的第二基本形式是二次型:
![{\displaystyle Ldx^{2}+2Mdxdy+Ndy^{2}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a30bceeb4d562cad8405e6d0e30a1a69f784e4f)
對 參數曲面S 上一個光滑點 p,總可以選取坐標系使得坐標的 z-平面與 S 切於 p,然後可以相同的方式定義第二基本形式。
一個一般參數曲面的第二基本形式定義如下。設 r=r(u,v) 是 R3 中一個正則參數曲面,這裡 r 是兩個變量的光滑向量值函數。通常記 r 關於 u 和 v 的偏導數為 ru 與 rv。參數化的正則性意味著 ru 與 rv 對 r 的定義域中任何 (u,v) 是線性無關的。等價地,叉積 ru × rv 是曲面的一個非零法向量。參數化這樣就定義了一個單位法向量場 n(u,v):
![{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3c5a488b57f4afb20c8e621d2bdd11cda97482)
第二基本形式通常寫成
![{\displaystyle \mathrm {II} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fca9c00d8927e2a2ecee532d923ee62817e68c)
在基 {ru, rv} 下的矩陣是
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7290cf08a7465409360fe4149dae465b24df92)
在參數化 uv-平面上一個給定點處係數 L, M, N 由 r 在那個點的二次偏導數到 S 的法線上投影給出,利用點積可計算如下:
![{\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} ,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} ,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad450f93bdf99da6f09548232a51a497a86c3437)
一個通常曲面 S 的第二基本形式定義如下:設 r=r(u1,u2) 是 R3 中一個正則參數曲面,這裡 r 是兩個變量的光滑向量值函數。通常記 r 關於 uα 的偏導數為 rα,α = 1,2。參數化的正則性意味著 r1 與 r2 在 r 的定義域上是線性無關的,從而在每一點張成 S 的切空間。等價地,叉積 r1 × r2 是曲面的一個非零法向量。這樣參數化定義了一個單位法向量場 n:
![{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f913318b95c0640fc73d71e214eed49f69e18ec8)
第二基本形式通常寫作
![{\displaystyle \mathrm {II} =b_{\alpha \beta }du^{\alpha }du^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44502e83684920e07ccf66da2122bbebe0b7422)
上式使用了愛因斯坦求和約定。
在參數 (u1, u2)-曲面給定點處係數 bαβ 由 r 的二次偏導數到 S 的法線的投影給出,利用點積可寫成:
![{\displaystyle b_{\alpha \beta }=\mathbf {r} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {n} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0363ba1213ceac8e4506811ff8c32680f6378678)
在歐幾里得空間中,第二基本形式由
![{\displaystyle I\!I(v,w)=\langle d\nu (v),w\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e69f039d2d8c6c0fef42c7ebe8e49582e578747)
給出,這裡
是高斯映射,而
是
的微分視為一個向量值微分形式,括號表示歐幾里得空間的度量張量。
更一般地,在一個黎曼流形上,第二基本形式是描述一個超曲面形算子(記作 S)的等價方法,
![{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle =-\langle \nabla _{v}n,w\rangle =\langle n,\nabla _{v}w\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfb1f9303bdbd26813490eb2830e537aea25228)
這裡
表示周圍空間的共變導數,n 超曲面上一個法向量場。如果仿射聯絡是無撓的,則第二基本形式是對稱的。
第二基本形式的符號取決於 n 的方向的選取。(這稱為曲面的余定向,對歐幾里得空間中的曲面,等價於給定曲面的一個定向)。
第二基本形式可以推廣到任意餘維數。在這種情形下,它是切空間上取值於法叢的一個二次型,可以定義為
![{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075ecbe2c405f7251d4ce492da49244a7e68359d)
這裡
表示共變導數
到法叢的正交投影。
在歐幾里得空間中,子流形的曲率張量可以描述為下列公式:
![{\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f44b8a840b3ee98318cf632f156fc54ae0fd9c)
這叫做高斯方程,可以視為高斯絕妙定理的推廣。在一個標準正交基中第二基本形式的本徵值,是曲面的主曲率。一組正交規範本徵向量稱為主方向。
對一般的黎曼流形必須添加周圍空間的曲率;如果 N 是嵌入黎曼流形 (M,g) 中一個流形,則 N 在誘導度量下的曲率張量
可以用第二基本形式與 M 的曲率張量
表示出來:
![{\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1695588cb7a6d1c73fcbccffa963d487456a52b5)
- Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7.
- Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325.
- Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1.