在数学中,格林函数(点源函数、影响函数)是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。在物理学的多体理论中,格林函数常常指各种关联函数,有时并不符合数学上的定义。
格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林(George Green),早在1830年代,他是第一个提出这个概念的人。
给定流形
上的微分算子
,其格林函数
,为以下方程的解
![{\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\ \ \ \ \ (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6443acf2dbe9755c7dad6e7955fad79a9c0d3e8)
其中
为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程:
![{\displaystyle Lu(x)=f(x)\ \ \ \ (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4af9bb294079a044f9c9ddb0136c3a2e38b0b2)
若
的 零空间非平凡,则格林函数不唯一。不过,实际上因着对称性、边界条件或其他的因素,可以找到唯一的格林函数。一般来说,格林函数只是一个广义函数。
格林函数在凝聚态物理学中常被使用,因为格林函数允许扩散方程式有较高的精度。在量子力学中,哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构,因此两者对应的格林函数也相当接近。
若可找到线性算符
的格林函数
,则可将 (1) 式两侧同乘
,再对变数
积分,可得:
![{\displaystyle \int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5dc77e22c229c3584779e9d9e99f96096a26a1)
由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于
,因此:
![{\displaystyle Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b30b3ca2218f15c6440cb2c8a18bacf274fd14)
由于算符
为线式,且只对变数
作用,不对被积分的变数
作用),所以可以将等号右边的算符
移到积分符号以外,可得:
![{\displaystyle Lu(x)=L\left(\int G(x,s)f(s)ds\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c15f70e940dff0a6a18034e8db8a1d1d60ed444)
而以下的式子也会成立:
![{\displaystyle u(x)=\int G(x,s)f(s)ds.\ \ \ \ (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b1180359824c1d844278ac74b3008576c60878)
因此,若知道 (1) 式的格林函数,及 (2) 式中的 f(x),由于 L 为线性算符,可以用上述的方式得到 u(x)。换句话说, (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的积分得到。若可以找到满足 (1) 式的格林函数 G ,就可以求出 u(x)。
并非所有的算符 L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论,(3) 式的积分也很难求解,因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。
格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函数,则方程式 Lu = f 的解 u 为
![{\displaystyle u(x)=\int {f(s)G(x,s)\,ds}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf32daf9eebf327f7c6b81a2787d08b5b077c77)
可以视为 f 依狄拉克δ函数的基底展开,再将所有投影量叠加的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程。
格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题。在近代的理论物理中,格林函数一般是用来作为费曼图中的传播子,而“格林函数”一词也用来表示量子力学中的关联函数。
令
为一个施图姆-刘维尔算子,是一个以以下形式表示的线性微分算子
![{\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17348833c6b88f42a9a3c622006c39371e78dea)
而 D 是边界条件算子
![{\displaystyle Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492488807e60fbf61f22291f6b7fcda0a4f57350)
令
为在
区间的连续函数,并假设以下问题
![{\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2805b1cd64199c3b56e58a707d7a2483682724de)
有正则特牲;即其齐次问题只存在寻常解。
则存在唯一解
满足以下方程式
![{\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2805b1cd64199c3b56e58a707d7a2483682724de)
而其解的计算方式如下
![{\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)g(x,s)\,ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfacb71036ad72ebae679584f48cecb072161723)
而中
即为格林函数,有以下的特性:
对
及
连续。
- 对所有
,
.
- 对所有
,
.
- 微分跳跃:
.
- 对称:
.
若一微分算子 L 有一组完备的特征向量
(也就是一组函数
及标量
使得
成立)则可以由特征向量及特征值产生格林函数。
先假设函数
满足以下的完备性:
![{\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0f3dfa3ecc9df4d113f76da65dc86b8b37d4f9)
经由证明可得下式:
![{\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7352339383ac8dd7d25db9cdb86ace23238768)
若在等号两侧加上微分算子 L,则可以证明以上假设的完备性。
有关以上格林函数的进一步研究,及格林函数和特征向量所组成空间的关系,则为弗雷德霍姆理论所要探讨的内容。
先由格林定理开始:
![{\displaystyle \int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04a597a694acacdea3bd90cc1e497f683298385)
假设线性算符 L 为拉普拉斯算子
,而 G 为拉普拉斯算子的格林函数。则因为格林函数的定义,可得下式:
![{\displaystyle LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d1b6a9f75fcc27ec520b8c87850de0c79d59da)
令格林定理中的
,可得:
![{\displaystyle \int _{V}\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'-\int _{V}G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\ d^{3}x'=\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9f51287508445153b90e297e6bf2845b3f57c6)
根据上式,可以解拉普拉斯方程
或 泊松方程
,其边界条件可以为狄利克雷边界条件或是诺伊曼边界条件。换句话说,在以下任一个条件成立时,可以解一空间内任一位置的
:
- 已知
在边界上的值(狄利克雷边界条件)。
- 已知
在边界上的法向导数(诺伊曼边界条件)。
若想解在区域内的
,由于狄拉克δ函数的特性,(4) 式等号左边的第一项
![{\displaystyle \int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de19f892fa78e8c481ee1ce925d26a038c5cba16)
可化简为
,再将 (4) 式等号左边第二项
用
表示,(若为泊松方程,
,若为拉普拉斯方程,
),可得:
![{\displaystyle \phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho '(x')\ d^{3}x'+\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f27055f6ab9f06e316cce1d4073f8d8413e5d5)
上式即为调和函数(harmonic function)的特性之一:若边界上的值或法向导数已知,则可以求出区域内每个位置的数值。
在静电学中,
为电位,
为电荷密度,而法向导数
则为电场在法向的分量。
若目前的边界条件为狄利克雷边界条件,可以选择在 x 或 x' 在边界时,其值也为 0 的格林函数。若边界条件为诺伊曼边界条件,可以选择在 x 或 x' 在边界时,其法向导数为 0 的格林函数。因此 (5) 式等号右侧的二个积分项有一项为 0 ,只剩下一项需计算。
在自由空间的情形下(此时可将边界条件视为:
),拉普拉斯算子的格林函数为:
![{\displaystyle G({\hat {x}},{\hat {x}}')={\frac {1}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8533abf16c21c9a47d058d049baf573765f5f20)
若
为电荷密度,则可得到电荷密度和电位
的公式:
![{\displaystyle \phi ({\hat {x}})=\int _{V}{\frac {\rho (x')}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}\ d^{3}x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c8e3b6f6db9a2b7c85c11311d3a5648e0a9847)
针对以下微分方程
![{\displaystyle {\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u''+u=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c28044f5b22bc1772c7ef874d968c758c71423)
![{\displaystyle Du=u(0)=0\quad ,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67eee934a7a3e018cfbda63ff2b406ab141b96e)
找出格林函数。
第 1 步
根据定理中,格林函数的特性 2,可得
![{\displaystyle g(x,s)=c_{1}(s)\cdot \cos x+c_{2}(s)\cdot \sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e6eb78dbe42348af5bccd40e04bd19649ea80f)
在 x < s 时因特性 3 可知
![{\displaystyle g(0,s)=c_{1}(s)\cdot 1+c_{2}(s)\cdot 0=0,\quad c_{1}(s)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d274b9cdaff66292ba7b490bb8f45b0a144f382b)
(此时不需考虑
的式子,因
)在 x > s 时因特性 3 可知
![{\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=c_{1}(s)\cdot 0+c_{2}(s)\cdot 1=0,\quad c_{2}(s)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92edd48d0f719fd8509f7237981b726580824390)
(此时不需考虑
的式子,因
)整理上述的结果,可得以下的式子。
![{\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}a(s)\sin x,\;\;x<s\\b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d46df4d93ed0c60f33a7c9b651c594db81ee47)
第 2 步
依格林函数的特性,找出 a(s)和b(s).
根据特性 1,可得
.
根据特性 4,可得
![{\displaystyle b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a44ff55840179a41f4067968c088194fe55cce)
解上述二式,可以求出 a(s)和b(s)
.
因此格林函数为
![{\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9dc6931ecaf6c85c65947017097facc5471aa4)
对照此解和格林函数的特性 5,可知此解也满足特性 5 的要求。
- 若流形为 R,而线性算符 L 为 d/dx,则单位阶跃函数 H(x − x0) 为 L 在 x0 处的格林函数。
- 若流形为第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而线性算符 L 为拉普拉斯算子,并假设在x = 0 处有狄利克雷边界条件,而在y = 0 处有诺依曼边界条件,则其格林函数为
![{\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1cfa92aa50a6d303596183acfed5c700ddd86c0)
- Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.(其中的第五章介绍如何使用格林函数解静电场的边界值问题)
- A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9