在數學中,格林函數(點源函數、影響函數)是一種用來解有初始條件或邊界條件的非齊次微分方程式的函數。在物理學的多體理論中,格林函數常常指各種關聯函數,有時並不符合數學上的定義。
格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林(George Green),早在1830年代,他是第一個提出這個概念的人。
給定流形
上的微分算子
,其格林函數
,為以下方程式的解
![{\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\ \ \ \ \ (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6443acf2dbe9755c7dad6e7955fad79a9c0d3e8)
其中
為狄拉克δ函數。此技巧可用來解下列形式的微分方程式:
![{\displaystyle Lu(x)=f(x)\ \ \ \ (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4af9bb294079a044f9c9ddb0136c3a2e38b0b2)
若
的 零空間非平凡,則格林函數不唯一。不過,實際上因著對稱性、邊界條件或其他的因素,可以找到唯一的格林函數。一般來說,格林函數只是一個廣義函數。
格林函數在凝聚態物理學中常被使用,因為格林函數允許擴散方程式有較高的精度。在量子力學中,哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係。由於擴散方程式和薛丁格方程式有類似的數學結構,因此兩者對應的格林函數也相當接近。
若可找到線性算符
的格林函數
,則可將 (1) 式兩側同乘
,再對變數
積分,可得:
![{\displaystyle \int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5dc77e22c229c3584779e9d9e99f96096a26a1)
由公式 (2) 可知上式的等號右側等於
,因此:
![{\displaystyle Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b30b3ca2218f15c6440cb2c8a18bacf274fd14)
由於算符
為線式,且只對變數
作用,不對被積分的變數
作用),所以可以將等號右邊的算符
移到積分符號以外,可得:
![{\displaystyle Lu(x)=L\left(\int G(x,s)f(s)ds\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c15f70e940dff0a6a18034e8db8a1d1d60ed444)
而以下的式子也會成立:
![{\displaystyle u(x)=\int G(x,s)f(s)ds.\ \ \ \ (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b1180359824c1d844278ac74b3008576c60878)
因此,若知道 (1) 式的格林函數,及 (2) 式中的 f(x),由於 L 為線性算符,可以用上述的方式得到 u(x)。換句話說, (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 G ,就可以求出 u(x)。
並非所有的算符 L 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 L 的左反元素。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論,(3) 式的積分也很難求解,因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。
格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程式──多半是史特姆-萊歐維爾問題。若 G 是算符 L 的格林函數,則方程式 Lu = f 的解 u 為
![{\displaystyle u(x)=\int {f(s)G(x,s)\,ds}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf32daf9eebf327f7c6b81a2787d08b5b077c77)
可以視為 f 依狄拉克δ函數的基底展開,再將所有投影量疊加的結果。以上的積分為弗雷德霍姆積分方程式。
格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題。在近代的理論物理中,格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子,而「格林函數」一詞也用來表示量子力學中的關聯函數。
令
為一個史特姆-萊歐維爾算子,是一個以以下形式表示的線性微分算子
![{\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17348833c6b88f42a9a3c622006c39371e78dea)
而 D 是邊界條件算子
![{\displaystyle Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492488807e60fbf61f22291f6b7fcda0a4f57350)
令
為在
區間的連續函數,並假設以下問題
![{\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2805b1cd64199c3b56e58a707d7a2483682724de)
有正則特牲;即其齊次問題只存在尋常解。
則存在唯一解
滿足以下方程式
![{\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2805b1cd64199c3b56e58a707d7a2483682724de)
而其解的計算方式如下
![{\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)g(x,s)\,ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfacb71036ad72ebae679584f48cecb072161723)
而中
即為格林函數,有以下的特性:
對
及
連續。
- 對所有
,
.
- 對所有
,
.
- 微分跳躍:
.
- 對稱:
.
若一微分算子 L 有一組完備的特徵向量
(也就是一組函數
及純量
使得
成立)則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。
先假設函數
滿足以下的完備性:
![{\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0f3dfa3ecc9df4d113f76da65dc86b8b37d4f9)
經由證明可得下式:
![{\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7352339383ac8dd7d25db9cdb86ace23238768)
若在等號兩側加上微分算子 L,則可以證明以上假設的完備性。
有關以上格林函數的進一步研究,及格林函數和特徵向量所組成空間的關係,則為弗雷德霍姆理論所要探討的內容。
先由格林定理開始:
![{\displaystyle \int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04a597a694acacdea3bd90cc1e497f683298385)
假設線性算符 L 為拉普拉斯算子
,而 G 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義,可得下式:
![{\displaystyle LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d1b6a9f75fcc27ec520b8c87850de0c79d59da)
令格林定理中的
,可得:
![{\displaystyle \int _{V}\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'-\int _{V}G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\ d^{3}x'=\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9f51287508445153b90e297e6bf2845b3f57c6)
根據上式,可以解拉普拉斯方程式
或 卜瓦松方程式
,其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件。換句話說,在以下任一個條件成立時,可以解一空間內任一位置的
:
- 已知
在邊界上的值(狄利克雷邊界條件)。
- 已知
在邊界上的法向導數(諾伊曼邊界條件)。
若想解在區域內的
,由於狄拉克δ函數的特性,(4) 式等號左邊的第一項
![{\displaystyle \int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de19f892fa78e8c481ee1ce925d26a038c5cba16)
可化簡為
,再將 (4) 式等號左邊第二項
用
表示,(若為卜瓦松方程式,
,若為拉普拉斯方程式,
),可得:
![{\displaystyle \phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho '(x')\ d^{3}x'+\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f27055f6ab9f06e316cce1d4073f8d8413e5d5)
上式即為調和函數(harmonic function)的特性之一:若邊界上的值或法向導數已知,則可以求出區域內每個位置的數值。
在靜電學中,
為電位,
為電荷密度,而法向導數
則為電場在法向的分量。
若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件,可以選擇在 x 或 x' 在邊界時,其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件,可以選擇在 x 或 x' 在邊界時,其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ,只剩下一項需計算。
在自由空間的情形下(此時可將邊界條件視為:
),拉普拉斯算子的格林函數為:
![{\displaystyle G({\hat {x}},{\hat {x}}')={\frac {1}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8533abf16c21c9a47d058d049baf573765f5f20)
若
為電荷密度,則可得到電荷密度和電位
的公式:
![{\displaystyle \phi ({\hat {x}})=\int _{V}{\frac {\rho (x')}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}\ d^{3}x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c8e3b6f6db9a2b7c85c11311d3a5648e0a9847)
針對以下微分方程式
![{\displaystyle {\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u''+u=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c28044f5b22bc1772c7ef874d968c758c71423)
![{\displaystyle Du=u(0)=0\quad ,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67eee934a7a3e018cfbda63ff2b406ab141b96e)
找出格林函數。
第 1 步
根據定理中,格林函數的特性 2,可得
![{\displaystyle g(x,s)=c_{1}(s)\cdot \cos x+c_{2}(s)\cdot \sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e6eb78dbe42348af5bccd40e04bd19649ea80f)
在 x < s 時因特性 3 可知
![{\displaystyle g(0,s)=c_{1}(s)\cdot 1+c_{2}(s)\cdot 0=0,\quad c_{1}(s)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d274b9cdaff66292ba7b490bb8f45b0a144f382b)
(此時不需考慮
的式子,因
)在 x > s 時因特性 3 可知
![{\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=c_{1}(s)\cdot 0+c_{2}(s)\cdot 1=0,\quad c_{2}(s)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92edd48d0f719fd8509f7237981b726580824390)
(此時不需考慮
的式子,因
)整理上述的結果,可得以下的式子。
![{\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}a(s)\sin x,\;\;x<s\\b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d46df4d93ed0c60f33a7c9b651c594db81ee47)
第 2 步
依格林函數的特性,找出 a(s)和b(s).
根據特性 1,可得
.
根據特性 4,可得
![{\displaystyle b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a44ff55840179a41f4067968c088194fe55cce)
解上述二式,可以求出 a(s)和b(s)
.
因此格林函數為
![{\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9dc6931ecaf6c85c65947017097facc5471aa4)
對照此解和格林函數的特性 5,可知此解也滿足特性 5 的要求。
- 若流形為 R,而線性算符 L 為 d/dx,則單位階躍函數 H(x − x0) 為 L 在 x0 處的格林函數。
- 若流形為第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而線性算符 L 為拉普拉斯算子,並假設在x = 0 處有狄利克雷邊界條件,而在y = 0 處有諾依曼邊界條件,則其格林函數為
![{\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1cfa92aa50a6d303596183acfed5c700ddd86c0)
- Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.(其中的第五章介紹如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題)
- A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9