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证明π是无理数

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18世纪60年代,约翰·海因里希·朗伯首先证明出圆周率无理数,即不能表示成两个整数之比。在19世纪,夏尔·埃尔米特给出了不需要微积分以外的预备知识的证明方法,此后又有玛丽·卡特赖特英语Mary Cartwright伊万·尼云以及尼古拉·布尔巴基等人给出更为简洁的证明。另外由拉茨科维奇·米克洛什的证明方法简化了朗伯的证明方法。这些所给出证明方法都基于反证法

1882年,费迪南德·冯·林德曼进一步给出圆周率不仅为无理数,而且为超越数的证明。

朗伯的证明

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1761年,朗伯通过如下所示的连分数来证明圆周率为无理数:

随后朗伯证明了如果x为非零有理数则该结果必为无理数。由于tan(π/4)=1,因此有π/4为无理数,即π为无理数。

卡特赖特的证明

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考虑如下积分:

n≥2时,可以通过分部积分法得到递推式:

如果定义:

那么可以得到:

另外,由J0(x)=2sin x以及J1=-4x cos x+4sin x,于是对于所有自然数n满足:

在这里Pn(x)与Qn(x)都是由正整数为系数以及常数且最高次数不超过n多项式(依赖于n)。

x=π/2,如果存在正整数ab满足π/2=a/b,于是有:

等式右边为整数。而由于在长度为2的区间[-1,1]时,被积函数取值范围介于0到1,于是有0<In(x)<2,另一方面:

于是对于足够大的n,会出现:

但在0与1之间不存在整数,矛盾,因此圆周率只能为无理数。

尼云的证明

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此证明用到的性质为圆周率为正弦函数最小正零点。

假设圆周率为有理数,即能表示成π=a/b的形式,其中ab都是整数且b≠0。不失一般性,假定ab都是正整数。现给出任意正整数n,以及x为实数,定义如下两个函数:

引理一:F(0)+F(π)是一个整数。

证明:对函数f展开,每项xk的系数都是ck/n!的形式,其中ck为整数,当k<n时等于0。因此,当k<nf(k)(0)=0以及当nk≤2nf(k)(0)=ck/n!,即无论何种情况f(k)(0)都是整数,于是F(0)也是整数。

另一方面,由于f(π-x)=f(x),因此对于每个自然数k有(-1)kf(k)(π-x)=f(k)(x),特别地即有(-1)kf(k)(π)=f(k)(0),因此f(k)(π)为整数,F(π)也是整数,从而得到F(0)+F(π)是一个整数。

引理二:

证明:由于f(2n+2)为零多项式,因此有:

根据三角函数导数有sin'=cos以及cos'=-sin,再由乘积法则得到:

又由微积分基本定理得:

在这里用到了前面所提及的圆周率的正弦函数零点性质,即sin 0=sin π=0以及cos 0=-cos π=1。

结论:由于当0<x<π时有f(x)>0以及sin x>0(在这里是因为圆周率为正弦函数最小正零点),以及引理一与引理二说明F(0)+F(π)是正整数。又由于当0≤x≤π时有0≤x(a-bx)≤πa以及0≤sin x≤1,因此可以得到:

n足够大时,该结果将会小于1,于是有F(0)+F(π)<1,从而出现矛盾。

参见

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